Движение тел под действием силы тяжести. Движение тела под действием силы тяжести в вертикальной плоскости Движение под действием силы тяжести по вертикали

Дата написания: 25.03.2024

Время на чтение: 44 минут

Исходя из наблюдений движения Луны и анализируя законы движения планет, открытые Кеплером, И. Ньютон (1643-1727) установил закон всемирного тяготения. По этому закону, как вы уже знаете из курса физики, все тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

здесь m 1 и m 2 - массы двух тел, r - расстояние между ними, а G - коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. Его численное значение зависит от единиц, в которых выражены сила, масса и расстояние. Закон всемирного тяготения объясняет движение планет и комет вокруг Солнца, движение спутников вокруг планет, двойных и кратных звезд вокруг их общего центра масс.

Ньютон доказал, что под действием взаимного тяготения тела могут двигаться друг относительно друга по эллипсу (в частности, по кругу ), по параболе и по гиперболе . Ньютон установил, что вид орбиты, которую описывает тело, зависит от его скорости в данном месте орбиты (рис. 34).

При некоторой скорости тело описывает окружность около притягивающего центра. Такую скорость называют первой космической или круговой скоростью, ее сообщают телам, запускаемым в качестве искусственных спутников Земли по круговым орбитам. (Вывод формулы для вычисления первой космической скорости известен из курса физики.) Первая космическая скорость вблизи поверхности Земли составляет около 8 км/с (7,9 км/с).

Если телу сообщить скорость, в раза большую круговой (11,2 км/с), называемую второй космической или параболической скоростью, то тело навсегда удалится от Земли и может стать спутником Солнца. В этом случае движение тела будет происходить по параболе относительно Земли. При еще большей скорости относительно Земли тело полетит по гиперболе. Двигаясь по параболе или гиперболе , тело только однажды огибает Солнце и навсегда удаляется от него.

Средняя скорость движения Земли по орбите 30 км/с. Орбита Земли близка к окружности, следовательно, скорость движения Земли по орбите близка к круговой на расстоянии Земли от Солнца. Параболическая скорость на расстоянии Земли от Солнца равна км/с≈42 км/с. При такой скорости относительно Солнца тело с орбиты Земли покинет Солнечную систему.

2. Возмущения в движении планет

Законы Кеплера точно соблюдаются только тогда, когда рассматривают движение двух изолированных тел под влиянием их взаимного притяжения. В Солнечной системе планет много, все они не только притягиваются Солнцем, но и притягивают друг друга, поэтому их движения не в точности подчиняются законам Кеплера.

Отклонения от движения, которое происходило бы строго по законам Кеплера, называются возмущениями. В Солнечной системе возмущения невелики, потому что притяжение каждой планеты Солнцем гораздо сильнее притяжения других планет.

Наибольшие возмущения в Солнечной системе вызывает планета Юпитер, которая примерно в 300 раз массивнее Земли. Юпитер оказывает особенно сильное влияние На Движение астероидов и комет, когда они близко к нему подходят. В частности, если направления ускорений кометы, вызванных притяжением Юпитера и Солнца, совпадают, то комета может развить столь большую скорость, что, двигаясь по гиперболе, навсегда уйдет из Солнечной системы. Были случаи, когда притяжение Юпитера сдерживало комету, эксцентриситет ее орбиты становился меньше и резко уменьшался период обращения.

При вычислениях видимого положения планет приходится учитывать возмущения. Теперь делать такие расчеты помогают быстродействующие электронно-вычислительные машины. При запуске искусственных небесных тел и при расчете их траекторий пользуются теорией движения небесных тел, в частности теорией возмущений.

Возможность отправлять автоматические межпланетные станции по желаемым, заранее рассчитанным траекториям, доводить их до цели с учетом возмущений в движении - все это яркие примеры познаваемости законов природы. Небо, которое по представлению верующих является обителью богов, стало ареной человеческой деятельности так же, как и Земля. Религия всегда противопоставляла Землю и небо и объявляла небо недосягаемым. Теперь же среди планет перемещаются искусственные небесные тела, созданные человеком, которыми он может управлять по радио с больших расстояний.

3. Открытие Нептуна

Одним из ярких примеров достижений науки, одним из свидетельств неограниченной познаваемости природы было открытие планеты Нептун путем вычислений - "на кончике пера".

Уран - планета, следующая за Сатурном, который много веков считался самой далекой из планет, была открыта В. Гершелем в конце XVIII в. Уран с трудом виден невооруженным глазом. К 40-м годам XIX в. точные наблюдения показали, что Уран едва заметно уклоняется от того пути, по которому он должен следовать с учетом возмущений со стороны всех известных планет. Таким образом, теория движения небесных тел, столь строгая и точная, подверглась испытанию.

Леверье (во Франции) и Адаме (в Англии) высказали предположение, что, если возмущения со стороны известных планет не объясняют отклонение в движении Урана, значит, на него действует притяжение еще неизвестного тела. Они почти одновременно рассчитали, где за Ураном должно быть неизвестное тело, производящее своим притяжением эти отклонения. Они вычислили орбиту неизвестной планеты, ее массу и указали место на небе, где в данное время должна была находиться неведомая планета. Эта планета и была найдена в телескоп на указанном ими месте в 1846 г. Ее назвали Нептуном. Нептун не виден невооруженным глазом. Так, разногласие между теорией и практикой, казалось, подрывавшее авторитет материалистической науки, привело к ее триумфу.

4. Приливы

Под действием взаимного притяжения частиц тело стремится принять форму шара. Форма Солнца, планет, их спутников и звезд поэтому и близка к шарообразной. Вращение тел (как вы знаете из физических опытов) ведет к их сплющиванию, к сжатию вдоль оси вращения. Поэтому немного сжат у полюсов земной шар, а более всего сжаты быстро вращающиеся Юпитер и Сатурн.

Но форма планет может изменяться и от действия сил их взаимного притяжения. Шарообразное тело (планета) движется в целом под действием гравитационного притяжения другого тела так, как если бы вся сила притяжения была приложена к ее центру. Однако отдельные части планеты находятся на разном расстоянии от притягивающего тела, поэтому гравитационное ускорение в них также различно, что и приводит к возникновению сил, стремящихся деформировать планету. Разность ускорений, вызываемых притяжением другого тела, в данной точке и в центре планеты называется приливным ускорением.

Рассмотрим для примера систему Земля - Луна. Один и тот же элемент массы в центре Земли будет притягиваться Луной слабее, чем на стороне, обращенной к Луне, и сильнее, чем на противоположной стороне. В результате Земля, и в первую очередь водная оболочка Земли, слегка вытягивается в обе стороны вдоль линии, соединяющей ее с Луной. На рисунке 35 океан для наглядности изображен покрывающим всю Землю. В точках, лежащих на линии Земля - Луна, уровень воды выше всего - там приливы. Вдоль круга, плоскость которого перпендикулярна направлению линии Земля - Луна и проходит через центр Земли, уровень воды ниже всего - там отлив. При суточном вращении Земли в полосу приливов и отливов поочередно вступают разные места Земли. Легко понять, что за сутки могут быть два прилива и два отлива.

Солнце также вызывает на Земле приливы и отливы, но из-за большой удаленности Солнца они меньше, чем лунные, и менее заметны.

С приливами перемещается огромная масса воды. В настоящее время приступают к использованию громадной энергии воды, участвующей в приливах, на берегах океанов и открытых морей.

Ось приливных выступов должна быть всегда направлена к Луне. При вращении Земля стремится повернуть водяной приливный выступ. Поскольку Земля вращается вокруг оси гораздо быстрее, чем Луна обращается вокруг Земли, то Луна оттягивает водяной горб к себе. Происходит трение между водой и твердым дном океана. В результате возникает так называемое приливное трение . Оно тормозит вращение Земли, и сутки с течением времени становятся длиннее (когда-то они составляли только 5-6 ч). Сильные приливы, вызываемые на Меркурии и Венере Солнцем, по-видимому, и явились причиной их крайне медленного вращения вокруг оси. Приливы, вызываемые Землей, настолько затормозили вращение Луны, что она всегда обращена к Земле одной стороной. Таким образом, приливы являются важным фактором эволюции небесных тел и Земли.

5. Масса и плотность Земли

Закон всемирного тяготения позволяет также определить одну из важнейших характеристик небесных тел - массу, в частности массу нашей планеты. Действительно, исходя из закона всемирного тяготения, ускорение свободного падения

Следовательно, если известны значения ускорения свободного падения, гравитационной постоянной и радиуса Земли, то можно определить ее массу.

Подставив в указанную формулу значение g = 9,8 м/с 2 , G = 6,67*10 -11 Н*м 2 /кг 2 , R =6370 км, найдем, что масса Земли М=6*10 24 кг.

Зная массу и объем Земли, можно вычислить ее среднюю плотность. Она равна 5,5*10 3 кг/м 3 . Но плотность Земли с глубиной возрастает, и, по расчетам, вблизи центра, в ядре Земли, она равна 1,1*10 4 кг/м 3 . Рост плотности с глубиной происходит за счет увеличения содержания тяжелых элементов, а также за счет увеличения давления.

(С внутренним строением Земли, изучаемым астрономическими и геофизическими методами, вы знакомились в курсе физической географии.)

Упражнение 12

1. Чему равна плотность Луны, если ее масса в 81 раз, а радиус в 4 раза меньше, чем у Земли?

2. Чему равна масса Земли, если угловая скорость Луны 13,2° в сутки, а среднее расстояние до нее 380 000 км?

6. Определение масс небесных тел

Ньютон доказал, что более точная формула третьего закона Кеплера такова:

где M 1 и М 2 - массы каких-либо небесных тел, a m 1 и m 2 - соответственно массы их спутников. Так, планеты считаются спутниками Солнца. Мы видим, что уточненная формула этого закона отличается от приближенной наличием множителя, содержащего массы. Если под M 1 =M 2 =Mпонимать массу Солнца, а под m 1 и m 2 - массы двух разных планет, то отношение будет мало отличаться от единицы, так как m 1 и m 2 очень малы по сравнению с массой Солнца. При этом точная формула не будет заметно отличаться от приближенной.

Уточненный третий закон Кеплера позволяет определить массы планет, имеющих спутников, и массу Солнца. Чтобы определить массу Солнца, будем сравнивать движение Луны вокруг Земли с движением Земли вокруг Солнца:

Массы планет, не имеющих спутников, определяют по тем возмущениям, которые они своим притяжением производят в движении соседних с ними планет, а также в движении комет, астероидов или космических аппаратов.

Упражнение 13

1. Определите массу Юпитера сравнением системы Юпитера со спутником с системой Земля - Луна, если первый спутник Юпитера отстоит от него на 422 000 км и имеет период обращения 1,77 сут. Данные для Луны должны быть вам известны.

2. Вычислите, на каком расстоянии от Земли на линии Земля - Луна находятся те точки, в которых притяжения Землей и Луной одинаковы, зная, что расстояние между Луной и Землей равно 60 радиусам Земли, а масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

Тема. Сила притяжения. Движение тела под действием силы тяжести

Цель урока: дать учащимся представление о понятии силы тяготения; ознакомить с природой этой силы. Познакомить их с движением тела под действием силы тяжести

Тип урока: изучение нового материала

План урока

Контроль знаний		1. Закон всемирного тяготения. 2. Физический смысл гравитационной постоянной. 3. Границы применимости закона всемирного тяготения
Демонстрации		1. Падение тел на землю. 2. Центр тяжести тел. 3. Движение тела, брошенного вертикально вверх и вниз.
Изучение нового материала		1. Сила тяжести и центр тяжести. 2. Ускорение свободного падения. 3. Движение тела по вертикали. 4. Движение тела, брошенного горизонтально. 5. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Закрепление изученного материала		1. Тренируемся решать задачи. 2. Контрольные вопросы

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Камень, падающий со скалы, и мяч, брошенный вертикально вверх, двигаются по прямой. Разогнавшись на берегу, человек прыгает в воду, при этом траектория ее тела - половинка параболы. Снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту, также опишет в пространстве параболу. Траектория спутника Земли очень близка к кругу. Движение всех этих тел происходит под действием силы тяжести. Почему же эти движения настолько отличаются друг от друга? Очевидно, причина - разные начальные условия.

Если на тело действует только сила тяжести, то, согласно второму закону Ньютона, т = m , или m = m . Это означает, что под действием силы тяжести тело движется рівноприскорено с ускорением g (а = g ). При этом уравнение зависимости скорости от времени имеет вид: = 0 + t .

Это уравнение показывает, что скорость движения тела находится в плоскости, образованной векторами 0 и , поэтому для описания таких движений достаточно двумерной системы координат.

Рассмотрим движение тела по вертикали: тело бросили вертикально вверх (рис. а), и тело падает вертикально вниз (рис. б).

В этом случае траекторией движения тела будет отрезок прямой, поскольку движения вдоль оси Ох не происходит (0х = 0, х = х0).

Поскольку во время движения вверх то уравнения движения будут иметь следующий вид:

Аналогично, во время движения тела, брошенного вниз, уравнения будут иметь вид:

1. На основании какого закона можно утверждать, что сила тяготения пропорциональна массе тела?

2. Как зависит ускорение свободного падения от высоты над поверхностью Земли?

3. С каким ускорением движется тело, брошенное горизонтально?

4. Зависит время полета тела, брошенного горизонтально, от значения величины начальной скорости?

5. Можно ли движение тела, брошенного под углом к горизонту, считать равноускоренным?

6. Что общего в движении тел, брошенных вертикально вверх и под углом к горизонту?

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

1. Вычислите массу Земли, если известно, что ее радиус равен 6400 км.

2. Вычислите ускорение свободного падения на высоте, равной радиусу Земли.

3. С какой скоростью надо бросить тело горизонтально с некоторой высоты, чтобы дальность полета была равна высоте, с которой брошено тело?

4. Камень, брошенный горизонтально с крыши дома со скоростью 15 м/с, упал на землю под углом 60° к горизонту. Какой есть высота дома?

5. Камень, брошенный под углом 30° к горизонту, дважды побывал на одной высоте: за 3 с и 5 с после начала движения. Вычислите начальную скорость бросания и максимальную высоту подъема.

1. Почему с увеличением высоты над поверхностью Земли ускорение свободного падения уменьшается?

2. Может ли тело под действием силы тяжести двигаться по кругу? Обоснуйте свой ответ.

3. Что общего в движении тел, брошенных вертикально вверх и под углом к горизонту?

4. Как изменится время и дальность полета тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты, если скорость бросания увеличить вдвое?

5. Тело, брошенное под углом 30° к горизонту, упало в определенную точку на поверхности земли. Под каким углом надо бросить второе тело с той же начальной скоростью, чтобы оно упало в ту же точку, что и первое?

Что мы узнали на уроке

Силу, с которой Земля притягивает любое тело, называют силой тяжести.

Сила тяжести, действующая на тело, пропорциональна массе этого тела.

Точку приложения силы тяжести, действующей на тело, за любого его положения в пространстве называют центром тяжести.

Ускорение свободного падения равна:

Если на тело действует только сила тяжести, то уравнение зависимости скорости тела от времени имеет вид:

Тело, брошенное горизонтально, движется по параболе, вершина которой находится в начальной точке движения.

Время полета и дальность полета тела, брошенного горизонтально, вычисляются по формулам:

Во время движения тела, брошенного под углом к горизонту:

а) высота подъема тела -

б) дальность полета тела -

в) максимальная дальность полета достигается, если угол = 45°.

р1) - 7.8; 7.21; 7.28, 8.6; 8.7;

р2) - 7.54; 7.55; 7.56. 8.13, 8.14;

р3) - 7.75; 7.81; 8.34; 8.39, 8.40.

Движение под действием силы тяжести

Будем скатывать небольшую тележку с двух очень гладких наклонных плоскостей. Одну доску возьмем значительно короче другой и положим их на одну и ту же опору. Тогда одна наклонная плоскость будет крутой, а другая – пологой. Верхушки обеих досок – места старта тележки – будут на одинаковой высоте. Как вы полагаете, какая из тележек приобретет большую скорость, скатившись с наклонной доски? Многие решат, что та, которая съехала по более крутой плоскости.

Опыт покажет, что они ошиблись, – тележки приобретут одинаковую скорость. Пока тело движется по наклонной плоскости, оно находится под действием постоянной силы, а именно (рис. 33) под действием составляющей силы тяжести, направленной вдоль движения. Скорость v , которую приобретает тело, движущееся с ускорением a на пути S , равна, как мы знаем, v = sqrt(2aS ).

Откуда же видно, что эта величина не зависит от угла наклона плоскости? На рис. 33 мы видим два треугольника. Один из них изображает наклонную плоскость. Малый катет этого треугольника, обозначенный буквой h , – высота, с которой начинается движение; гипотенуза S есть путь, проходимый телом в ускоренном движении. Маленький треугольник сил с катетом ma и гипотенузой mg подобен большому, так как они прямоугольные и углы их равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Значит, отношение катетов должно равняться отношению гипотенуз, т.е.

Мы доказали, что произведение aS , а значит, и конечная скорость тела, скатившегося с наклонной плоскости, не зависит от угла наклона, а зависит лишь от высоты, с которой началось движение вниз. Скорость v = sqrt(2gh ) для всех наклонных плоскостей при единственном условии, что движение началось с одной и той же высоты h . Эта скорость оказалась равной скорости свободного падения с высоты h .

Измерим скорость тела в двух местах наклонной плоскости – на высотах h 1 и h 2 . Скорость тела в момент прохождения через первую точку обозначим v 1 , а скорость в момент прохождения через вторую точку – v 2 .

Если начальная высота, с которой началось движение, есть h , то квадрат скорости тела в первой точке будет v 1 2 = 2g (h – h 1), а во второй точке v 2 2 = 2g (h ? h 2). Вычитая первое из второго, мы найдем, как связаны скорости тела в начале и в конце какого угодно кусочка наклонной плоскости с высотами этих точек:

v 2 2 ? v 1 2 = 2g (h 1 ? h 2).

Разность квадратов скоростей зависит лишь от разности высот. Заметим, что полученное уравнение одинаково пригодно для движений вверх и для движений вниз. Если первая высота меньше второй (подъем), то вторая скорость меньше первой.

Эту формулу можно переписать следующим образом:

Мы хотим подчеркнуть такой записью, что сумма половины квадрата скорости и высоты, умноженной на g , одинакова для любой точки наклонной плоскости. Можно сказать, что величина v 2 /2 + gh сохраняется во время движения.

Самое замечательное в найденном нами законе то, что он справедлив для движения без трения по любой горке и вообще по любому пути, состоящему из чередующихся подъемов и спусков различной крутизны. Это следует из того, что любой путь можно разбить на прямолинейные участки. Чем меньше брать отрезки, тем ближе будет приближаться ломаная линия к кривой. Каждый прямой отрезок, на которые разбит криволинейный путь, можно считать частью наклонной плоскости и применить к нему найденное правило.

Значит, в любой точке траектории сумма v 2 /2 + gh одинакова. Поэтому изменение квадрата скорости не зависит от формы и длины пути, по которому двигалось тело, а определяется лишь разностью высот точек начала и конца движения.

Читателю может показаться, что наше заключение не совпадает с повседневным опытом: на длинном отлогом пути тело вовсе не набирает скорость и в конце концов остановится. Так оно и есть, но ведь мы в наших рассуждениях не учитывали силу трения. Написанная выше формула верна для движения в поле тяжести Земли под действием одной лишь силы тяжести. Если силы трения малы, то выведенный закон будет выполняться совсем неплохо. На гладких ледяных горах санки с металлическими полозьями скользят с очень небольшим трением. Можно устроить длинные ледяные дорожки, начинающиеся с крутого спуска, на котором набирается большая скорость, а затем причудливо извивающиеся вверх и вниз. Конец путешествия по таким горкам (когда санки остановятся сами собой) при полном отсутствии трения произошел бы на высоте, равной начальной. А так как трения избежать нельзя, то точка, с которой началось движение санок, будет выше того места, где они остановятся.

Закон, по которому конечная скорость не зависит от формы пути при движении под действием силы тяжести, может быть применен для решения различных интересных задач.

В цирке много раз показывали как захватывающий аттракцион вертикальную «мертвую петлю». Велосипедист или тележка с акробатом устанавливаются на высоком помосте. Ускоряющийся спуск, затем подъем. Вот акробат уже в положении вниз головой, опять спуск – и мертвая петля описана. Рассмотрим задачу, которую приходится решать инженеру цирка. На какой высоте надо сделать помост, с которого начинается спуск, чтобы акробат не свалился в наивысшей точке мертвой петли? Условие нам известно: центробежная сила, прижимающая акробата к помосту, должна уравновесить силу тяжести, направленную в противоположную сторону. Значит, mg ? mv 2 /r где r – радиус мертвой петли, а v – скорость движения в верхней точке петли. Для того чтобы эта скорость была достигнута, надо начать движение с места, расположенного выше верхней точки петли на некоторую величину h . Начальная скорость акробата равна нулю, поэтому в верхней точке петли v 2 = 2gh . Но, с другой стороны, v 2 ? gr . Значит, между высотой h и радиусом петли имеется соотношение h ? r /2. Помост должен возвышаться над верхней точкой петли на величину, не меньшую половины радиуса петли. Учитывая неизбежную силу трения, приходится, конечно, брать некоторый запас высоты.

А вот еще одна задача. Возьмем круглый купол, очень гладкий, чтобы трение было минимальным. На вершину положим небольшой предмет и едва заметным толчком дадим ему возможность скользить по куполу. Рано или поздно скользящее тело отделится от купола и начнет падать. Мы можем легко решить вопрос, когда именно тело оторвется от поверхности купола: в момент отрыва центробежная сила должна равняться составляющей веса на направление радиуса (в этот момент тело перестанет давить на купол, а это и есть момент отрыва). На рис. 34 видны два подобных треугольника; изображен момент отрыва. Составим отношение катета к гипотенузе для треугольника сил и приравняем к соответствующему отношению сторон другого треугольника:

Здесь r – радиус сферического купола, а h – разность высот от начала до конца скольжения. Теперь используем закон о независимости конечной скорости от формы пути. Так как начальная скорость тела предполагается равной нулю, то v 2 = 2gh . Подставив это значение в написанную выше пропорцию и произведя арифметические преобразования, найдем: h = r /3. Значит, тело оторвется от купола на высоте, находящейся на 1/3 радиуса ниже вершины купола.

Из книги Пять нерешенных проблем науки автора Уиггинс Артур

Четыре силы Словно мало было хлопот с новыми частицами, в те же 1930 - е годы были открыты еще и новые поля. К уже известному тяготению и электромагнетизму добавились силы ядерного взаимодействия, удерживающие протоны и нейтроны в ядре, и силы слабого взаимодействия,

Из книги Межпланетные путешествия [Полёты в мировое пространство и достижение небесных тел] автора Перельман Яков Исидорович

Невидимые оковы тяжести В старину, говорят, к ноге каторжника приковывали цепь с тяжелой гирей, чтобы отяжелить его шаг и сделать неспособным к побегу. Все мы, жители Земли, незримо отягчены подобною же гирею, мешающей нам вырваться из земного плена в окружающий простор

Из книги Вселенная. Руководство по эксплуатации [Как выжить среди черных дыр, временных парадоксов и квантовой неопределенности] автора Голдберг Дэйв

IV Можно ли укрыться от силы тяжести? Мы слишком привыкли к тому, что все вещи, все физические тела прикованы своим весом к земле; нам трудно поэтому даже мысленно отрешиться от силы тяжести и представить себе картину того, что было бы, если бы мы обладали способностью

Из книги Физика на каждом шагу автора Перельман Яков Исидорович

Заслон от силы тяжести Остроумный английский писатель Герберт Уэльс подробно развил эту мысль в научно-фантастическом романе „Первые люди на Луне".Ученый герой романа, изобретатель Кевор, открыл способ изготовления именно такого вещества, непроницаемого для

Из книги Движение. Теплота автора Китайгородский Александр Исаакович

VI Вопреки тяжести. - На волнах света Из трех мыслимых способов борьбы с тяготением мы рассмотрели и отвергли два: способ защиты от тяготения и способ ослабления земной тяжести. Мы убедились, что ни тот, ни другой не дают человечеству надежды успешно разрешить заманчивую

Из книги Как понять сложные законы физики. 100 простых и увлекательных опытов для детей и их родителей автора Дмитриев Александр Станиславович

К главе X 11. Жизнь при отсутствии тяжести По поводу настоящей книжки в печати и в письмах к автору высказывалось опасение, что последствия для живого организма от помещения его в среду без тяжести должны быть роковыми. Опасения эти, однако, ни на чем, в сущности, не

Из книги Быть Хокингом автора Хокинг Джейн

IV. Откуда же берутся эти силы? Наш разговор мы начали с того, что фундаментальные силы похожи на игры, однако в нашей игре не хватает одного компонента, без которого ничего не получится: это мяч. Задумайтесь об этом. Без мяча теннис - не более чем конвульсивное размахивание

Из книги автора

Вопреки тяжести Помощью зеркала вы можете удивить товарищей, показав им маленькое чудо: шары, вкатывающиеся вверх по крутому уклону, словно бы тяжесть для них не существовала. Само собою разумеется, что это будет обман зрения. Рис. 96. Кажется, будто шар катится вверхВам

Из книги автора

Момент силы Попробуйте рукой привести во вращение тяжелое маховое колесо. Тяните за спицу. Вам будет тяжело, если вы ухватитесь рукой слишком близко к оси. Переместите руку к ободу, и дело пойдет легче.Что же изменилось? Ведь сила в обоих случаях одна и та же. Изменилась

Из книги автора

Центр тяжести Все частички тела обладают весом. Поэтому твердое тело находится под действием бесчисленного количества сил тяжести. При этом все эти силы параллельны. Если так, то их можно сложить по правилам, которые мы только что рассматривали, и заменить одной силой.

Из книги автора

Поверхностные силы Можно ли выйти сухим из воды? Конечно, для этого нужно смазаться несмачивающимся водой веществом.Натрите палец парафином и опустите в воду. Когда вы его вынете, окажется, что воды на пальце нет, если не считать двух-трех капелек. Небольшое движение – и

Из книги автора

Силы трения Мы не в первый раз говорим о трении. И правда, как можно было, рассказывая о движении, обойтись без упоминания о трении? Почти любое движение окружающих нас тел сопровождается трением. Останавливается автомобиль, у которого водитель выключил мотор,

Из книги автора

54 Как найти центр тяжести Для опыта нам потребуется: обыкновенная палка. Мы уже знаем правило: чтобы стабилизировать, выровнять полет предмета, надо, чтобы его центр аэродинамического давления находился сзади центра тяжести. Но как быстро найти центр тяжести у палки,

Из книги автора

83 Еще раз про силы сцепления Для опыта нам потребуются: два кусочка стекла или два маленьких зеркальца. Мы помним, как иголка плавала на воде в одном из наших опытов. Помогали ей плавать силы поверхностного натяжения. Но вот вопрос: можно ли почувствовать силу

Из книги автора

99 Тело с перемещаемым центром тяжести Для опыта нам потребуются: коробочка от «киндер-сюрприза», металлический или стеклянный шарик. Для этого опыта понадобится любой достаточно тяжелый шарик (можно металлический, можно стеклянный). Такие шарики продают в магазинах для

Из книги автора

16. Без юридической силы Хотя меня в некоторой степени утешала новообретенная независимость духа, семейный катаклизм на самом деле сломил меня. Во тьме поражения я чувствовала, что опозорена и что от меня все отреклись, что я неуклюже пытаюсь вновь найти свою личность, как

Движение тела под действием силы тяжести является одной из центральных тем в динамической физике. О том, что раздел динамики базируется на трех знает даже обычный школьник. Давайте постараемся разобрать эту тему досконально, а статья, подробно описывающая каждый пример, поможет нам сделать изучение движения тела под действием силы тяжести максимально полезным.

Немного истории

Люди с любопытством наблюдали за различными явлениями, происходящими в нашей жизни. Человечество долгое время не могло понять принципы и устройство многих систем, однако длительный путь изучения окружающего мира привел наших предков к научному перевороту. В наши дни, когда технологии развиваются с неимоверной скоростью, люди почти не задумываются о том, каким образом работают те или иные механизмы.

А между тем наши предки всегда интересовались загадками природных процессов и устройством мира, искали ответы на самые сложные вопросы и не переставали изучать, пока не находили на них ответы. Так, например, известный ученый Галилео Галилей еще в 16 веке задался вопросами: "Почему тела всегда падают вниз, какая же сила притягивает их к земле?" В 1589 году он поставил ряд опытов, результаты которых оказались весьма ценными. Он подробно изучал закономерности свободного падения различных тел, сбрасывая предметы со знаменитой башни в городе Пизе. Законы, которые он вывел, были улучшены и более детально описаны формулами еще одним известным английским ученым - сэром Исааком Ньютоном. Именно ему принадлежат три закона, на которых основана практически вся современная физика.

Тот факт, что закономерности движения тел, описанные более 500 лет назад, актуальны и по сей день, означает, что наша планета подчиняется неизменным законам. Современному человеку необходимо хотя бы поверхностно изучить основные принципы обустройства мира.

Основные и вспомогательные понятия динамики

Для того чтобы полностью понять принципы подобного движения, следует сначала ознакомиться с некоторыми понятиями. Итак, самые необходимые теоретические термины:

Взаимодействие - это воздействие тел друг на друга, при котором происходит изменение или начало их движения относительно друг друга. Различают четыре вида взаимодействия: электромагнитное, слабое, сильное и гравитационное.
Скорость - это физическая величина, обозначающая быстроту, с которой двигается тело. Скорость является вектором, то есть имеет не только значение, но также и направление.
Ускорение - та величина, которая показывает нам быстроту изменения скорости тела в промежуток времени. Она также является
Траектория пути - это кривая, а иногда - прямая линия, которую очерчивает тело при движении. При равномерном прямолинейном движении траектория может совпадать со значением перемещения.
Путь - это длина траектории, то есть ровно столько, сколько прошло тело за определенное количество времени.
Инерциальная система отсчета - это среда, в которой выполняется первый закон Ньютона, то есть тело сохраняет свою инерцию, при условии, что полностью отсутствуют все внешние силы.

Вышеуказанных понятий вполне достаточно для того, чтобы грамотно начертить или представить в голове моделирование движения тела под действием силы тяжести.

Что значит сила?

Давайте перейдем к основному понятию нашей темы. Итак, сила - это величина, смысл которой заключается в воздействии или влиянии одного тела на другое количественно. А сила тяжести - это та сила, которая действует абсолютно на каждое тело, находящееся на поверхности или вблизи нашей планеты. Возникает вопрос: откуда же берется эта самая сила? Ответ заключается в законе всемирного тяготения.

А что такое сила тяжести?

На любое тело со стороны Земли оказывает влияние гравитационная сила, которая сообщает ему некоторое ускорение. Сила тяжести всегда имеет вертикальное направление вниз, к центру планеты. Иначе говоря, сила тяжести притягивает предметы к Земле, вот почему предметы всегда падают вниз. Получается, что сила тяжести - это частный случай силы всемирного тяготения. Ньютон вывел одну из главных формул для нахождения силы притяжение между двумя телами. Выглядит она таким образом: F = G * (m 1 х m 2) / R 2 .

Чему равно ускорение свободного падения?

Тело, которое отпустили с некоторой высоты, всегда летит вниз под действием силы притяжения. Движение тела под действием силы тяжести вертикально вверх и вниз можно описать уравнениями, где основной константой будет являться значение ускорения "g". Эта величина обусловлена исключительно действием силы притяжения, и ее значение приблизительно равно 9,8 м/с 2 . Получается, что тело, брошенное с высоты без начальной скорости, будет двигаться вниз с ускорением равным значению "g".

Движение тела под действием силы тяжести: формулы для решения задач

Основная формула нахождения силы тяжести выглядит следующим образом: F тяжести = m х g, где m - это масса тела, на которое действует сила, а "g" - ускорение свободного падения (для упрощения задач его принято считать равным 10 м/с 2).

Есть еще несколько формул, используемых для нахождения того или иного неизвестного при свободном движении тела. Так, например, для того чтобы вычислить пройденный телом путь, необходимо подставить известные значения в эту формулу: S = V 0 х t + a х t 2 / 2 (путь равен сумме произведений начальной скорости умноженной на время и ускорения на квадрат времени, деленной на 2).

Уравнения для описания вертикального движения тела

Движение тела под действием силы тяжести по вертикали можно описать уравнением, которое выглядит так: x = x 0 + v 0 х t + a х t 2 / 2. Используя данное выражение, можно найти координаты тела в известный момент времени. Необходимо просто подставить известные в задаче величины: начальное местоположение, начальную скорость (если тело не просто отпустили, а толкнули с некоторой силой) и ускорение, в нашем случае оно будет равно ускорению g.

Таким же образом можно найти и скорость тела, которое движется под действием силы притяжения. Выражение для нахождения неизвестной величины в любой момент времени: v = v 0 + g х t (значение начальной скорости может быть равным нулю, тогда скорость будет равна произведению ускорения свободного падения на значение времени, за которое тело совершает движение).

Движение тел под действием силы тяжести: задачи и способы их решений

При решении многих задач, связанных с силой тяжести, рекомендуем воспользоваться следующим планом:

Определить для себя удобную инерциальную систему отсчета, обычно принято выбирать Землю, потому как она отвечает многим требованиям к ИСО.
Нарисовать небольшой чертеж или рисунок, на котором изображены основные силы, действующие на тело. Движение тела под действием силы тяжести подразумевает набросок или схему, на которой указано, в каком направлении движется тело, если на него действует ускорение, равное g.
Затем следует выбрать направление для проецирования сил и полученных ускорений.
Записать неизвестные величины и определить их направление.
И наконец, используя указанные выше формулы для решения задач, вычислить все неизвестные величины, подставив данные в уравнения для нахождения ускорения или пройденного пути.

Готовое решение легкой задачи

Когда речь идет о таком явлении, как движение тела под действием того, каким способом практичнее решать поставленную задачу, может быть затруднительным. Однако есть несколько хитростей, используя которые, можно с легкостью решить даже самое сложное задание. Итак, разберем на живых примерах, как следует решать ту или иную задачу. Начнем с легкой для понимания задачи.

Некоторое тело отпустили с высоты 20 м без начальной скорости. Определить, за какое количество времени оно достигнет поверхности земли.

Решение: нам известен путь, пройденный телом, известно, что начальная скорость была равна 0. Также можем определить, что на тело действует только сила тяжести, получается, что это движение тела под действием силы тяжести, и поэтому следует воспользоваться этой формулой: S = V 0 х t + a х t 2 /2. Так как в нашем случае a = g, то после некоторых преобразований получаем следующее уравнение: S = g х t 2 / 2. Теперь осталось только выразить время через эту формулу, получаем, что t 2 = 2S / g. Подставим известные величины (при этом считаем, что g = 10 м/с 2) t 2 = 2 х 20 / 10 = 4. Следовательно, t = 2 с.

Итак, наш ответ: тело упадет на землю за 2 секунды.

Трюк, позволяющий быстро решить задачу, состоит в следующем: можно заметить, что описанное движение тела в приведенной задаче происходит в одном направлении (вертикально вниз). Оно весьма схоже с равноускоренным движением, так как на тело не действует никакая сила, кроме силы тяжести (силой сопротивления воздуха пренебрегаем). Благодаря этому можно воспользоваться легкой формулой для нахождения пути при равноускоренном движении, минуя изображения чертежей с расстановкой действующих на тело сил.

Пример решения более сложной задачи

А теперь давайте посмотрим, как лучше решать задачи на движение тела под действием силы тяжести, если тело движется не вертикально, а имеет более сложный характер перемещения.

Например, следующая задача. Некоторый предмет массой m движется с неизвестным ускорением вниз по наклонной плоскости, коэффициент трения которой равен k. Определить значение ускорения, которое имеется при движении данного тела, если угол наклона α известен.

Решение: Следует воспользоваться планом, который описан выше. В первую очередь начертить рисунок наклонной плоскости с изображением тела и всех действующих на него сил. Получится, что на него действуют три составляющие: сила тяжести, трения и сила реакции опоры. Выглядит общее уравнение равнодействующих сил так: F трения + N + mg = ma.

Главной изюминкой задачи является условие наклонности под углом α. При ox и ось oy необходимо учесть данное условие, тогда у нас получится следующее выражение: mg х sin α - F трения = ma (для оси ох) и N - mg х cos α = F трения (для оси oy).

F трения легко вычислить по формуле нахождения силы трения, она равна k х mg (коэффициент трения, умноженный на произведение массы тела и ускорения свободного падения). После всех вычислений остается только подставить найденные значения в формулу, получится упрощенное уравнение для вычисления ускорения, с которым движется тело вдоль наклонной плоскости.

Введение

1. Движение тела под действием силы тяжести

1.1 Движение тела по круговой или эллиптической орбите вокруг планеты

1.2 Движение тела под действием силы тяжести в вертикальной плоскости

1.3 Движение тела, если начальная скорость направлена под углом к силе тяжести

2. Движение тела в среде с сопротивлением

3. Применение законов движения тела под действием силы тяжести с учётом сопротивления среды в баллистике

Заключение

Список литературы

Введение

По второму закону Ньютона причиной изменения движения, то есть причиной ускорения тел, является сила. В механике рассматриваются силы различной физической природы. Многие механические явления и процессы определяются действием сил тяготения. Закон всемирного тяготения был открыт И.Ньютоном в 1682 году. Еще в 1665 году 23-летний Ньютон высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. По его гипотезе между всеми телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по линии, соединяющей центры масс. У тела в виде однородного шара центр масс совпадает с центром шара.

Рис.1. Гравитационные силы.

В последующие годы Ньютон пытался найти физическое объяснение законам движения планет, открытых астрономом И.Кеплером в начале XVII века, и дать количественное выражение для гравитационных сил. Зная, как движутся планеты, Ньютон хотел определить, какие силы на них действуют. Такой путь носит название обратной задачи механики. Если основной задачей механики является определение координат тела известной массы и его скорости в любой момент времени по известным силам, действующим на тело, и заданным начальным условиям (прямая задача механики), то при решении обратной задачи необходимо определить действующие на тело силы, если известно, как оно движется. Решение этой задачи и привело Ньютона к открытию закона всемирного тяготения. Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

Коэффициент пропорциональности G одинаков для всех тел в природе. Его называют гравитационной постоянной

G = 6,67·10 -11 Н·м 2 /кг 2

Многие явления в природе объясняются действием сил всемирного тяготения. Движение планет в Солнечной системе, движение искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все эти явления находят объяснение на основе закона всемирного тяготения и законов динамики. Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести.

Сила тяжести - это сила, действующая на тело со стороны Земли и сообщающая телу ускорение свободного падения:

Любое тело, находящееся на Земле (или вблизи нее), вместе с Землей вращается вокруг ее оси, т.е. тело движется по окружности радиусом r с постоянной по модулю скоростью.

Рис.2. Движение тела, находящегося на поверхности Земли.

На тело на поверхности Земли действуют сила тяготения и сила со стороны земной поверхности

Их равнодействующая

сообщает телу центростремительное ускорение

Разложим силу тяготения на две составляющие, одна из которых будет, т.е.

Из уравнений (1) и (2) видим, что

Таким образом, сила тяжести - одна из составляющих силы тяготения, вторая составляющая сообщает телу центростремительное ускорение. В точке Μ на географической широте φ сила тяжести направлена не по радиусу Земли, а под некоторым углом α к нему. Сила тяжести направлена по, так называемой, отвесной прямой (по вертикали вниз).

Сила тяжести равна по модулю и направлению силе тяготения только на полюсах. На экваторе они совпадают по направлению, а по модулю отличие наибольшее.

где ω - угловая скорость вращения Земли, R - радиус Земли.

рад/с,ω = 0,727·10 -4 рад/с.

Так как ω очень мала, то F T ≈ F. Следовательно, сила тяжести мало отличается по модулю от силы тяготения, поэтому данным различием часто можно пренебречь.

Тогда F T ≈ F,

Из этой формулы видно, что ускорение свободного падения g не зависит от массы падающего тела, но зависит от высоты.

Если M – масса Земли, R З – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна

где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли:

Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения. Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно 9,81м/с 2 . Зная ускорение свободного падения и радиус Земли

(R З = 6,38·10 6 м), можно вычислить массу Земли M:

При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Рисунок иллюстрирует изменение силы тяготения, действующей на космонавта в космическом корабле при его удалении от Земли. Сила, с которой космонавт притягивается к Земле вблизи ее поверхности, принята равной 700 Н.

Рис.3.Изменение силы тяготения, действующей на космонавта при удалении от Земли.

Примером системы двух взаимодействующих тел может служить система Земля–Луна. Луна находится от Земли на расстоянии r Л = 3,84·10 6 м. Это расстояние приблизительно в 60 раз превышает радиус Земли R З. Следовательно, ускорение свободного а л, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет

С таким ускорением, направленным к центру Земли, Луна движется по орбите. Следовательно, это ускорение является центростремительным ускорением. Его можно рассчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения:

где T = 27,3 сут. – период обращения Луны вокруг Земли. Совпадение результатов расчетов, выполненных разными способами, подтверждает предположение Ньютона о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести. Собственное гравитационное поле Луны определяет ускорение свободного падения g л на ее поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Поэтому ускорение g л определится выражением:

В условиях такой слабой гравитации оказались космонавты, высадившиеся на Луне. Человек в таких условиях может совершать гигантские прыжки. Например, если человек в земных условиях подпрыгивает на высоту 1 м, то на Луне он мог бы подпрыгнуть на высоту более 6 м.

1. Движение тела под действием силы тяжести

Если на тело действует только сила тяжести, то тело совершает свободное падение. Вид траектории движения зависит от направления и модуля начальной скорости. При этом возможны следующие случаи движения тела:

1. Тело может двигаться по круговой или эллиптической орбите вокруг планеты.

2. Если начальная скорость тела равна нулю или параллельна силе тяжести, тело совершает прямолинейное свободное падение.

3. Если начальная скорость тела направлена под углом к силе тяжести, то тело будет двигаться по параболе, либо по ветви параболы.

1.1 Движение тела по круговой или эллиптической орбите вокруг планеты

Рассмотрим теперь вопрос об искусственных спутниках Земли. Искусственные спутники движутся за пределами земной атмосферы, и на них действуют только силы тяготения со стороны Земли. В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной. Мы рассмотрим здесь только случай движения искусственного спутника по круговой околоземной орбите. Такие спутники летают на высотах порядка 200–300 км, и можно приближенно принять расстояние до центра Земли равным ее радиусу R З. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, приблизительно равно ускорению свободного падения g. Обозначим скорость спутника на околоземной орбите через υ 1 . Эту скорость называют первой космической скоростью. Используя кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получим:

Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за время

На самом деле период обращения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли несколько превышает указанное значение из-за отличия между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли. Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли. Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от Земли, земное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r траектории. Скорость спутника υ находится из условия

Таким образом, на высоких орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите. Период T обращения такого спутника равен

Здесь T 1 – период обращения спутника на околоземной орбите. Период обращения спутника растет с увеличением радиуса орбиты. Нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6R З, период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6R о называется геостационарной.

1.2 Движение тела под действием силы тяжести в вертикальной плоскости

Если начальная скорость тела равна нулю или параллельна силе тяжести, тело совершает прямолинейное свободное падение.

Основной задачей механики, является определение положения тела в любой момент времени. Решением задачи для частиц, движущихся в поле тяжести Земли, являются уравнения, в проекциях на оси OX и OY:

Этих формул достаточно, чтобы решить любую задачу о движении тела под действием силы тяжести.

Тело брошено вертикально вверх

В этом случае v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0 , g y = -g.

Движение тела в этом случае будет происходить по прямой линии, причем сначала вертикально вверх до точки, в которой скорость обратится в нуль, а затем вертикально вниз.

Рис.4.Движение тела, брошенного вверх.

При движении тела с ускорением в поле тяготения изменяется вес тела.

Весом тела называется сила, с которой тело действует на неподвижную относительно него опору или подвес.

Вес тела возникает вследствие его деформации, вызванной действием силы со стороны опоры (силы реакции) или подвеса (силы натяжения) Вес существенно отличается от силы тяжести:

Это силы разной природы: сила тяжести - гравитационная сила, вес - упругая сила (электромагнитной природы).

Они приложены к разным телам: сила тяжести - к телу, вес - к опоре.

Рис.5. Точки приложения силы тяжести и веса тела.

Направление веса тела не обязательно совпадает с отвесным направлением.

Сила тяжести тела в данном месте Земли постоянная и не зависит от характера движения тела; вес зависит от ускорения, с которым движется тело.

Рассмотрим, как изменяется вес тела, движущегося в вертикальном направлении вместе с опорой. На тело действуют сила тяжести и сила реакции опоры.

Рис.5. Изменение веса тела при движении с ускорением.

Основное уравнение динамики: . В проекции на ось Оу:

По третьему закону Ньютона модули сил N p1 = P 1 . Следовательно, вес тела P 1 = mg

, (тело испытывает перегрузки).

Следовательно, вес тела

Если a = g, то P = 0

Таким образом, вес тела при вертикальном движении может быть в общем случае выражен формулой

Мысленно разобьем неподвижное тело на горизонтальные слои. На каждый из этих слоев действует сила тяжести и вес вышележащей части тела. Этот вес будет становиться тем больше, чем ниже лежит слой. Поэтому под влиянием веса вышележащих частей тела каждый слой деформируется и в нем возникают упругие напряжения, которые возрастают по мере перехода от верхней части тела к нижней.

Рис.6.Тело, разбитое на горизонтальные слои.

Если тело свободно падает (a = g), то его вес равен нулю, в теле исчезают всякие деформации и, несмотря на сохраняющееся действие силы тяжести, верхние слои не будут давить на нижние.

Состояние, при котором в свободно движущемся теле исчезают деформации и взаимные давления, называется невесомостью. Причина невесомости заключается в том, что сила всемирного тяготения сообщает телу и его опоре одинаковое ускорение.

1.3 Движение тела, если начальная скорость направлена под углом к силе тяжести

Тело брошено горизонтально, т.е. под прямым углом к направлению силы тяжести.

При этом v 0x = v 0 , g x = 0, v 0y = 0, g y = - g , х 0 = 0, и, следовательно,

Чтобы определить вид траектории, по которой тело будет двигаться в этом случае, выразим время t из первого уравнения и подставим его во второе уравнение. В результате мы получим квадратичную зависимость у от х:

Это означает, что тело при этом будет двигаться по ветви параболы.

Рис.7. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Движение тела, брошенного с некоторой начальной скоростью υ о под углом α к горизонту, тоже представляет собой сложное движение: равномерное по горизонтальному направлению и одновременно происходящее под действием силы тяжести равноускоренное движение в вертикальном направлении. Так движется лыжник при прыжке с трамплина, струя воды из брандспойта и т.д.

Рис.8. Струя воды из брандспойта.

Изучение особенностей такого движения началось довольно давно, еще в XVI веке и было связано с появлением и совершенствованием артиллерийских орудий.

Представления о траектории движения артиллерийских снарядов в те времена были довольно забавными. Считалось, что траектория эта состоит из трех участков: А - насильственного движения, В - смешанного движения и С - естественного движения, при котором ядро падает на солдат противника сверху.

Рис.9. Траектория движения артиллерийского снаряда.

Законы полета метательных снарядов не привлекали особого внимания ученых до тех пор, пока не были изобретены дальнобойные орудия, которые посылали снаряд через холмы или деревья - так, что стреляющий не видел их полета.

Сверхдальняя стрельба из таких орудий на первых порах использовалась в основном для деморализации и устрашения противника, а точность стрельбы не играла вначале особенно важной роли.

Близко к правильному решению о полете пушечных ядер подошел итальянский математик Тарталья, он сумел показать, что наибольшей дальности полета снарядов можно достичь при направлении выстрела под углом 45° к горизонту. В его книге "Новая наука" были сформулированы правила стрельбы, которыми артиллеристы руководствовались до середины ХVII века.

Однако, полное решение проблем, связанных с движением тел брошенных горизонтально или под углом к горизонту, осуществил все тот же Галилей. В своих рассуждениях он исходил из двух основных идей: тела, движущиеся горизонтально и не подвергающиеся воздействию других сил будут сохранять свою скорость; появление внешних воздействий изменит скорость движущегося тела независимо от того, покоилось или двигалось оно до начала их действия. Галилей показал, что траектории снарядов, если пренебречь сопротивлением воздуха, представляют собой параболы. Галилей указывал, что при реальном движении снарядов, вследствие сопротивления воздуха, их траектория уже не будет напоминать параболу: нисходящая ветвь траектории будет идти несколько круче, чем расчетная кривая.

Ньютон и другие ученые разрабатывали и совершенствовали новую теорию стрельбы, с учетом возросшего влияния на движение артиллерийских снарядов сил сопротивления воздуха. Появилась и новая наука – баллистика. Прошло много-много лет, и теперь снаряды движутся столь быстро, что даже простое сравнение вида траекторий их движения подтверждает возросшее влияние сопротивления воздуха.

Рис.10. Идеальная и действительная траектории движения снаряда.

На нашем рисунке идеальная траектория движения тяжелого снаряда, вылетевшего из ствола пушки с большой начальной скоростью, показана пунктиром, а сплошной линией - действительная траектория полета снаряда при тех же условиях выстрела.

В современной баллистике для решения подобных задач используется электронно-вычислительная техника - компьютеры, а мы пока ограничимся простым случаем - изучением такого движения, при котором сопротивлением воздуха можно пренебречь. Это позволит нам повторить рассуждения Галилея почти без всяких изменений.

Полет пуль и снарядов представляет собой пример движения тел, брошенных под углом к горизонту. Точное описание характера такого движения возможно только при рассмотрении некоторой идеальной ситуации.

Посмотрим, как меняется скорость тела, брошенного под углом α к горизонту, в отсутствие сопротивления воздуха. В течение всего времени полета на тело действует сила тяжести. На первом участке траектории по направлению.

Рис 11. Изменение скорости вдоль траектории.

В наивысшей точке траектории – в точке С - скорость движения тела будет наименьшей, она направлена горизонтально, под углом 90° к линии действия силы тяжести. На второй части траектории полет тела происходит аналогично движению тела, брошенному горизонтально. Время движения от точки А до точки С будет равно времени движения по второй части траектории в отсутствие сил сопротивления воздуха.

Если точки "бросания" и "приземления" лежат на одной горизонтали, что то же самое можно сказать и о скоростях «бросания» и «приземления». Углы между поверхностью Земли и направлением скорости движения в точках «бросания» и «приземления» будут в этом случае тоже равны.

Дальность полета АВ тела, брошенного под углом к горизонту, зависит от величины начальной скорости и угла бросания. При неизменной скорости бросания V 0 с увеличением угла, между направлением скорости бросания и горизонтальной поверхностью от 0 до 45°, дальность полета возрастает, а при дальнейшем росте угла бросания – уменьшается. В этом легко убедиться, направляя струю воды под разными углами к горизонту или следя за движением шарика, выпущенного из пружинного «пистолета» (такие опыты легко проделать самому).

Траектория такого движения симметрична относительно наивысшей точки полета и при небольших начальных скоростях, как уже говорилось раньше, представляет собой параболу.

Максимальная дальность полета при данной скорости вылета достигается при угле бросания 45°. Когда угол бросания составляет 30° или 60°, то дальность полета тел для обоих углов оказывается одинаковой. Для углов бросания 75° и 15° дальность полета будет опять одна и та же, но меньше, чем при углах бросания 30° и 60°. Значит, наиболее «выгодным» для дальнего броска углом является угол в 45°, при любых других значениях угла бросания дальность полета будет меньше.

Если бросить тело с некоторой начальной скоростью v о под углом 45° к горизонту, то его дальность полета будет в два раза больше максимальной высоты подъема тела, брошенного вертикально вверх с такой же начальной скоростью.

Максимальную дальность полета S тела, брошенного под углом α к горизонту, можно найти по формуле:

максимальную высоту подъема H по формуле:

При отсутствии сопротивления воздуха наибольшей дальности полета соответствовал бы угол наклона ствола винтовки равный 45°, но сопротивление воздуха значительно изменяет траекторию движения и максимальной дальности полета соответствует другой угол наклона ствола винтовки – больше 45°. Величина этого угла зависит также от скорости пули при выстреле. Если скорость пули при выстреле 870 м/с, то реальная дальность полета составит примерно 3,5 км, а не 77 км, как показывают «идеальные» расчеты.

Эти соотношения показывают, что расстояние, пройденное телом в вертикальном направлении, не зависит от величины начальной скорости – ведь ее значение не входит в формулу для расчета высоты Н. А дальность полета пули в горизонтальном направлении будет тем больше, чем больше ее начальная скорость.

Изучим движение тела, брошенного с начальной скоростью v 0 под углом α к горизонту, рассматривая его как материальную точку массы m При этом сопротивлением воздуха пренебрежём, а поле тяжести будем считать однородным (Р=const), полагая, что дальность полёта и высота траектории малы по сравнению с радиусом Земли.

Поместим начало координат О в начальном положении точки. Направим ось O y вертикально вверх; горизонтальную ось O x расположим в плоскости, проходящей через О y и вектор v 0 , а ось O z проведём перпендикулярно первым двум осям. Тогда угол между вектором v 0 и осью O x будет равен α

Рис.12.Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Изобразим движущуюся точку М где-нибудь на траектории. На точку действует одна только сила тяжести , проекции которой на оси координат равны: P x =0 , P y =-P =mg , P Z =0

Подставляя эти величины в дифференциальные уравнения и замечая, что и т.д. мы после сокращения на m получим:

Умножая обе части этих уравнений на dt и интегрируя, находим:

Начальные условия в нашей задаче имеют вид:

x=0,

y=0 ,

Удовлетворяя начальным условиям, будем иметь:

Подставляя эти значения С 1 , С 2 и С 3 в найденное выше решение и заменяя V x , V Y , V z на придём к уравнениям:

Интегрируя эти уравнения, получим:

Подстановка начальных данных даёт С 4 = С 5 = С 6 = 0, и мы окончательно находим уравнения движения точки М в виде:

Из последнего уравнения следует, что движение происходит в плоскости О xy

Имея уравнение движения точки, можно методами кинематики определить все характеристики данного движения.

1. Траектория точки. Исключая из первых двух уравнений (1) время t, получим уравнение траектории точки:

(2)

Это – уравнение параболы с осью, параллельной оси О y . Таким образом, брошенная под углом к горизонту тяжёлая точка движется в безвоздушном пространстве по параболе (Галилей).

2. Горизонтальная дальность. Определим горизонтальную дальность, т.е. измеренное вдоль оси О x расстояние ОС=Х. Полагая в равенстве (2) y=0, найдём точки пересечения траектории с осью О х. Из уравнения:

получаем

Первое решение дает точку О, второе точку С. Следовательно, Х=Х 2 и окончательно

(3)

Из формулы (3) видно, что такая же горизонтальная дальность X будет получена при угле β, для которого 2β=180° - 2α , т.е. если угол β=90°-α . Следовательно, при данной начальной скорости v 0 в одну и ту же точку С можно попасть двумя траекториями: настильной (α<45°) и навесной (β=90°-α>45°)

При заданной начальной скорости v 0 наибольшая горизонтальная дальность в безвоздушном пространстве получается, когда sin 2 α = 1, т.е. при угле α=45°.

то найдется высота траектории Н:

(4)

Время полета. Из первого уравнения системы (1) следует, что полное время полета Т определяется равенством Заменяя здесь Х его значением, получим

При угле наибольшей дальности α=45° все найденные величины равны:

Полученные результаты практически вполне приложимы для ориентировочного определения характеристик полета снарядов (ракет), имеющих дальности порядка 200…600 км, так как при этих дальностях (и при ) снаряд основную часть своего пути проходит в стратосфере, где сопротивлением воздуха можно пренебречь. При меньших дальностях на результат будет сильно влиять сопротивление воздуха, а при дальностях свыше 600 км силу тяжести уже нельзя считать постоянной.

Движение тела, брошенного с высоты h.

Из пушки, установленной на высоте h, произвели выстрел под углом α к горизонту. Ядро вылетело из ствола орудия со скоростью u. Определим уравнения движения ядра.

Рис.13.Движение тела, брошенного с высоты.

Чтобы правильно составить дифференциальные уравнения движения, надо решать подобные задачи по определённой схеме.

а) Назначить систему координат (количество осей, их направление и начало координат). Удачно выбранные оси упрощают решение.

б) Показать точку в промежуточном положении. При этом надо проследить за тем, чтобы координаты такого положения обязательно были положительными.

в) Показать силы, действующие на точку в этом промежуточном положении (силы инерции не показывать!).

В этом примере – это только сила , вес ядра. Сопротивление воздуха учитывать не будем.

г) Составить дифференциальные уравнения по формулам:

Отсюда получим два уравнения: и .

д) Решить дифференциальные уравнения.

Полученные здесь уравнения – линейные уравнения второго порядка, в правой части – постоянные. Решение этих уравнений элементарно.

Осталось найти постоянные интегрирования. Подставляем начальные условия (при t = 0, x = 0, y = h,,) в эти четыре уравнения: ,,

0 = С 2 , h = D 2 .

Подставляем в уравнения значения постоянных и записываем уравнения движения точки в окончательном виде

Имея эти уравнения, как известно из раздела кинематики, можно определить и траекторию движения ядра, и скорость, и ускорение, и положение ядра в любой момент времени.

Как видно из этого примера, схема решения задач довольно проста. Сложности могут возникнуть только при решении дифференциальных уравнений, которые могут оказаться непростыми.

Здесь сила - сила трения. Если линия, по которой движется точка, гладкая, то Т = 0 и тогда второе уравнение будет содержать только одну неизвестную – координату s:

Решив это уравнение, получим закон движения точки, а значит, при необходимости, и скорость и ускорение. Первое и третье уравнения (5) позволят найти реакции и .

2. Движение тела в среде с сопротивлением

движение сопротивление баллистика эллиптический орбита

Одной из важнейших задач аэро- и гидродинамики является исследование движения твёрдых тел в газе и жидкости. В частности изучение тех сил, с которыми среда действует на движущееся тело. Эта проблема приобрела особенно большое значение в связи с бурным развитием авиации и увеличением скорости движения морских судов. На тело, движущееся в жидкости или газе, действуют две силы (равнодействующую их обозначим R), одна из которых (R х) направлена в сторону, противоположную движению тела (в сторону потока), - лобовое сопротивление, а вторая (R y) перпендикулярна этому направлению – подъёмная сила.

Где ρ – плотность среды; υ – скорость движения тела; S – наибольшее поперечное сечение тела.

Подъёмная сила может быть определена формулой:

Где С y – безразмерный коэффициент подъёмной силы.

Если тело симметрично и его ось симметрии совпадает с направлением скорости, то на него действует только лобовое сопротивление, подъёмная же сила в этом случае равна нулю. Можно доказать, что в идеальной жидкости равномерное движение происходит без лобового сопротивления. Если рассмотреть движение цилиндра в такой жидкости, то картина линий тока симметрична и результирующая силы давления на поверхность цилиндра будет равна нулю.

Иначе обстоит дело при движении тел в вязкой жидкости (особенно при увеличении скорости обтекания). Вследствие вязкости среды в области, прилегающей к поверхности тела, образуется пограничный слой частиц, движущихся с меньшими скоростями. В результате тормозящего действия этого слоя и возникает вращение частиц, и движение жидкости в пограничном слое становится вихревым. Если тело не имеет обтекаемой формы (нет плавно утончающиеся хвостовой части), то пограничный слой жидкости отрывается от поверхности тела. За телом возникает течение жидкости или газа, направленное противоположно набегающему потоку. Оторвавшийся пограничный слой, следуя за этим течением, образует вихри, вращающиеся в противоположные стороны. Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относительно потока, что учитывается коэффициентом сопротивления. Вязкость (внутреннее трение) – это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения F , направленные по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила. Сила внутреннего трения F тем больше, чем больше рассматриваемая площадь S поверхности слоя, и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. Величина оказывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении x , перпендикулярном направлению движения слоев, и называется градиентом скорости. Таким образом, модуль силы внутреннего трения

где коэффициент пропорциональности η , зависящий от природы жидкости. называется динамической вязкостью.

Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от температуры, причём характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей η с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения.

3. Применение законов движения тела под действием силы тяжести с учётом сопротивления среды в баллистике

Основной задачей баллистики является определение, под каким углом к горизонту, и с какой начальной скоростью должна лететь пуля определенной массы и формы, чтобы она достигла цели.

Образование траектории.

Во время выстрела пуля, получив под действием пороховых газов при вылете из канала ствола некоторую начальную скорость, стремится по инерции сохранить величину и направление этой скорости, а граната, имеющая реактивный двигатель, движется по инерции после истечения газов из реактивного двигателя. Если бы полет пули (гранаты) совершался в безвоздушном пространстве, и на нее не действовала бы сила тяжести, пуля (граната) двигалась бы прямолинейно, равномерно и бесконечно. Однако на пулю (гранату), летящую в воздушной среде, действуют силы, которые изменяют скорость ее полета и направление движения. Этими силами являются сила тяжести и сила сопротивления воздушной среды.

Вследствие совместного действия этих сил пуля теряет скорость и изменяет направление своего движения, перемещаясь в воздушной среде по кривой линии, проходящей ниже направления оси канала ствола.

Кривая линия, которую описывает в пространстве центр тяжести двигающейся пули (снаряда) в полете, называется траекторией. Обычно баллистика рассматривает траекторию над (или под) горизонтом оружия - воображаемой бесконечной горизонтальной плоскостью, проходящей через точку вылета. Движение пули, а следовательно, и фигура траектории зависят от многих условий. Пуля при полете в воздухе подвергается действию двух сил: силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Сила тяжести заставляет пулю постепенно понижаться, а сила сопротивления воздуха непрерывно замедляет движение пули и стремится опрокинуть ее. В результате действия этих сил скорость полета постепенно уменьшается, а ее траектория представляет собой по форме неравномерно изогнутую кривую линию.

Действие силы тяжести.

Представим себе, что на пулю после вылета ее из канала ствола действует только одна сила тяжести. Тогда она начнет падать вертикально вниз, как и всякое свободно падающее тело. Если предположить, что на пулю при ее полете по инерции в безвоздушном пространстве действует сила тяжести, то под действием этой силы пуля опустится ниже от продолжения оси канала ствола: в первую секунду - на 4,9 м, во вторую секунду - на 19,6 м и т. д. В этом случае, если навести ствол оружия в цель, пуля никогда в нее не попадет, так как, подвергаясь действию силы тяжести, она пролетит под целью. Вполне очевидно, что, для того чтобы пуля пролетела определенное расстояние и попала в цель, необходимо направить ствол оружия куда-то выше цели, с тем чтобы траектория пули, изгибаясь под влиянием силы тяжести, пересекла центр цели. Для этого нужно, чтобы ось канала ствола и плоскость горизонта оружия составляли некоторый угол, который называется углом возвышения. Траектория пули в безвоздушном пространстве, на которую действует сила тяжести, представляет собой правильную кривую, которая называется параболой. Самая высокая точка траектории над горизонтом оружия называется ее вершиной. Часть кривой от точки вылета до вершины называется восходящей ветвью траектории, а от вершины до точки падения - нисходящей ветвью. Такая траектория пули характерна тем, что восходящая и нисходящая ветви совершенно одинаковы, а угол бросания и падения равны между собой.

Действие силы сопротивления воздушной среды.

На первый взгляд кажется маловероятным, чтобы воздух, обладающий такой малой плотностью, мог оказывать существенное сопротивление движению пули и этим значительно уменьшать ее скорость. Однако сопротивление воздуха оказывает сильное тормозящее действие на пулю, в связи с чем она теряет свою скорость. Сопротивление воздуха полету пули вызывается тем, что воздух представляет собой упругую среду и поэтому на движение в этой среде затрачивается часть энергии пули. Сила сопротивления воздуха вызывается тремя основными причинами: трением воздуха, образованием завихрений и образованием баллистической волны.

Как показывают фотоснимки пули, летящей со сверхзвуковой скоростью (свыше 340 м/сек), перед ее головной частью образуется уплотнение воздуха. От этого уплотнения расходится во все стороны головная волна. Частицы воздуха, скользя по поверхности пули и срываясь с ее боковых стенок, образуют за донной частью пули зону разреженного пространства, вследствие чего появляется разность давлений на головную и донную части. Эта разность создает силу, направленную в сторону, обратную движению пули и уменьшающую скорость ее полета. Частицы воздуха, стремясь заполнить пустоту, образовавшуюся за пулей, создают завихрение, в результате чего за дном пули тянется хвостовая волна.

Уплотнение воздуха впереди головной части пули тормозит ее полет; разреженная зона позади пули засасывает ее и этим еще больше усиливает торможение; ко всему этому стенки пули испытывают трение о частицы воздуха, что также замедляет ее полет. Равнодействующая этих трех сил и составляет силу сопротивления воздуха. Пуля (граната) при полете сталкивается с частицами воздуха и заставляет их колебаться. Вследствие этого перед пулей (гранатой) повышается плотность воздуха, и образуются звуковые волны. Поэтому полет пули (гранаты) сопровождается характерным звуком. При скорости полета пули (гранаты), меньшей скорости звука, образование этих волн оказывает незначительное влияние на ее полет, так как волны распространяются быстрее скорости полета пули (гранаты). При скорости полета пули, большей скорости звука, от набегания звуковых волн друг на друга создается волна сильно уплотненного воздуха - баллистическая волна, замедляющая скорость полета пули, так как пуля тратит часть своей энергии на создание этой волны.

Равнодействующая (суммарная) всех сил, образующихся вследствие влияния воздуха на полет пули (гранаты), составляет силу сопротивления воздуха. Точка приложения силы сопротивления называется центром сопротивления.

Влияние, оказываемое сопротивлением воздуха на полет пули очень велико - оно вызывает уменьшение скорости и дальности полета пули.

Действие на пулю сопротивления воздуха.

Величина силы сопротивления воздуха зависит от скорости полета, формы и калибра пули, а также от ее поверхности и плотности воздуха.

Сила сопротивления воздуха возрастает с увеличением калибра пули, скорости ее полета и плотности воздуха. Для того чтобы сопротивление воздуха меньше тормозило пулю во время полета, вполне очевидно, что нужно уменьшить ее калибр и увеличить ее массу. Эти соображения и привели к необходимости использования в стрелковом оружии пуль продолговатой формы, а с учетом сверхзвуковых скоростей полета пули, когда основной причиной сопротивления воздуха является образование уплотнения воздуха перед головной частью (баллистической волны), выгодны пули с удлиненной остроконечной головной частью. При дозвуковых скоростях полета гранаты, когда основной причиной сопротивления воздуха является образование разреженного пространства и завихрений, выгодны гранаты с удлиненной и суженной хвостовой частью.

Чем глаже поверхность пули, тем меньше сила трения и сила сопротивления воздуха.

Разнообразие форм современных пуль во многом определяется необходимостью уменьшить силу сопротивления воздуха.

Если бы полет пули совершался в безвоздушном пространстве, то направление ее продольной оси было бы неизменным и пуля падала бы на землю не головной частью, а дном.

Однако при действии на пулю силы сопротивления воздуха полет ее будет совсем иным. Под действием начальных возмущений (толчков) в момент вылета пули из канала ствола между осью пули и касательной к траектории образуется угол, и сила сопротивления воздуха действует не вдоль оси пули, а под углом к ней, стремясь не только замедлить движение пули, но и опрокинуть ее. В первый момент, когда пуля вылетает из канала ствола, сопротивление воздуха только тормозит ее движение. Но как только пуля начинает под действием силы тяжести опускаться вниз, частицы воздуха начнут давить не только на головную часть, но и на боковую поверхность ее.

Чем больше пуля будет опускаться, тем больше она будет и подставлять сопротивлению воздуха свою боковую поверхность. А так как частицы воздуха оказывают на головную часть пули значительно большее давление, чем на хвостовую, они стремятся опрокинуть пулю головной частью назад.

Следовательно, сила сопротивления воздуха не только тормозит пулю при ее полете, но и стремится опрокинуть ее головную часть назад. Чем больше скорость пули и чем она длиннее, тем сильнее на нее оказывает воздух опрокидывающее действие. Вполне понятно, что при таком действии сопротивления воздуха пуля во время своего полета начнет кувыркаться. При этом, подставляя воздуху то одну сторону, то другую, пуля быстро будет терять скорость, в связи, с чем дальность полета будет небольшой, а кучность боя - неудовлетворительной.

Заключение

Во всех рассмотренных примерах на тело действовала одна и та же сила тяжести. Однако движения при этом выглядели по-разному. Объясняется это тем, что характер движения любого тела в заданных условиях определяется его начальным состоянием. Недаром все полученные нами уравнения содержат начальные координаты и начальные скорости. Меняя их, мы можем заставить тело подниматься вверх или опускаться вниз по прямой линии, двигаться по параболе, достигая ее вершины, или опускаться по ней вниз; дугу параболы мы можем изогнуть сильнее или слабее и т.д. И в то же время все это многообразие движений можно выразить одной простой формулой:

Список литературы

1. Гершензон Е.М., Малов Н.Н. Курс общей физики. М.Просвещение, 1995.

2. Рымкевич П.А. Курс физики. М. Просвещение, 1975

3. Савельев И.В. Курс общей физики. М. Просвещение, 1983.

4. Трофимова Т.И. Курс физики. М. Просвещение, 1997

5. Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике. М. Просвещение, 1988.