ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Многогранник – это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Многогранник – это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника. Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости, каждой из его граней. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости, каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы. Все правильные многогранники имеют разное число граней и названия получили по этому числу. Все правильные многогранники имеют разное число граней и названия получили по этому числу. Правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше. Правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Тетраэдр (от,тетра– четыре и греческого,hedra – грань) составлен из 4-х правильных треугольников, в каждой его вершине сходятся 3 ребра. Тетраэдр (от,тетра– четыре и греческого,hedra – грань) составлен из 4-х правильных треугольников, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Гексаэдр (от греческого,гекса – шесть и,hedra – грань) имеет 6 квадратных граней, в каждой его вершине сходятся 3 ребра. Гексаэдр (от греческого,гекса – шесть и,hedra – грань) имеет 6 квадратных граней, в каждой его вершине сходятся 3 ребра. Гексаэдр больше известен как куб (от латинского, cubus ; от греческого,kubos. Гексаэдр больше известен как куб (от латинского, cubus ; от греческого,kubos.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань) имеет 8 граней (треугольных), в каждой вершине сходятся 4 ребра. Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань) имеет 8 граней (треугольных), в каждой вершине сходятся 4 ребра.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) имеет 12 граней (пятиугольных), в каждой вершине сходятся 3 ребра. Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) имеет 12 граней (пятиугольных), в каждой вершине сходятся 3 ребра.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Икосаэдр (от греческого eikosi – двадцать и hedra – грань) имеет 20 граней (треугольных), в каждой вершине сходится 5 рёбер. Икосаэдр (от греческого eikosi – двадцать и hedra – грань) имеет 20 граней (треугольных), в каждой вершине сходится 5 рёбер.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Древнегреческий философ Платон, (428 или 427 до н. э. 348 или 347), проводивший беседы со своими учениками в роще Академа (Академ – древнегреческий мифологический герой, которого, по преданию, похоронили в священной роще недалеко от Афин, откуда и пошло название,академия), одним из девизов своей школы провозгласил:, Не знающие геометрии не допускаются! Древнегреческий философ Платон, (428 или 427 до н. э. 348 или 347), проводивший беседы со своими учениками в роще Академа (Академ – древнегреческий мифологический герой, которого, по преданию, похоронили в священной роще недалеко от Афин, откуда и пошло название,академия), одним из девизов своей школы провозгласил:, Не знающие геометрии не допускаются!

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА В диалоге,Тимей Платон связал правильные многогранники с четырьмя основными стихиями. Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. Хотя правильные многогранники были известны пифагорейцам за несколько веков до Платона, но их называют платоновыми телами. В диалоге,Тимей Платон связал правильные многогранники с четырьмя основными стихиями. Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. Хотя правильные многогранники были известны пифагорейцам за несколько веков до Платона, но их называют платоновыми телами. Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Из правильных многогранников – Платоновых тел – можно получить так называемые полуправильные многогранники, или архимедовы тела. Гранями их являются также правильные, но разноименные многоугольники. Из правильных многогранников – Платоновых тел – можно получить так называемые полуправильные многогранники, или архимедовы тела. Гранями их являются также правильные, но разноименные многоугольники.

Формула Эйлера Многогран- ник ВершиныГраниРёбраВ+Г-Р Тетраэдр4462 Гексаэдр86122 Октаэдр68122 Додекаэдр Икосаэдр Подсчитаем число вершин (В), граней (Г), рёбер (Р) запишем результаты в таблицу. Подсчитаем число вершин (В), граней (Г), рёбер (Р) запишем результаты в таблицу. В последней колонке для всех многогранни- ков один и тот же результат: В+Г- Р=2. В последней колонке для всех многогранни- ков один и тот же результат: В+Г- Р=2. Формула верна не только для правильных многогранников, но и для всех многогранников! Формула верна не только для правильных многогранников, но и для всех многогранников!

Закон взаимности У правильных многогранников есть интересная особенность – своеобразный,закон взаимности. Центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра – вершинами куба. У правильных многогранников есть интересная особенность – своеобразный,закон взаимности. Центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра – вершинами куба.

Закон взаимности Особняком от этих 4-х многогранников стоит тетраэдр: если считать центры его граней вершинами нового многогранника, то вновь получится тетраэдр. Особняком от этих 4-х многогранников стоит тетраэдр: если считать центры его граней вершинами нового многогранника, то вновь получится тетраэдр. Тетраэдр двойствен сам себе. Тетраэдр двойствен сам себе.

Закон взаимности Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр – это две пары двойственных многогранников. У них одинаковое число рёбер (12 – у куба и октаэдра; 30 – у додекаэдра и икосаэдра), а числа вершин и граней переставлены. Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр – это две пары двойственных многогранников. У них одинаковое число рёбер (12 – у куба и октаэдра; 30 – у додекаэдра и икосаэдра), а числа вершин и граней переставлены.

Правильные многогранники вокруг нас Теория правильных многоугольников и многогранников - один из самых увлекательных и ярких разделов математики. Но закономерности, открытые математиками, удивительным образом связаны с симметрией живой и неживой природы – с формами различных кристаллов, точной формой вирусов, с современными теориями в физике, биологии и других областях знания. Теория правильных многоугольников и многогранников - один из самых увлекательных и ярких разделов математики. Но закономерности, открытые математиками, удивительным образом связаны с симметрией живой и неживой природы – с формами различных кристаллов, точной формой вирусов, с современными теориями в физике, биологии и других областях знания.

Правильные многогранники вокруг нас Например: одноклеточные организмы феодарии, имеют форму икосаэдра одноклеточные организмы феодарии, имеют форму икосаэдра куб передает форму кристаллов поваренной соли куб передает форму кристаллов поваренной соли монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра бор – икосаэдра бор – икосаэдра

Библиография 1.Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3 – М.: Баласс, Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3 – М.: Баласс, Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 классы. Пособие для учителей. – М.: Издательство НЦ ЭНАС, Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 классы. Пособие для учителей. – М.: Издательство НЦ ЭНАС, Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М.: Мирос, Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М.: Мирос, Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, Энциклопедия для детей. Я познаю мир.Математика. – М.: Издательство АСТ, Энциклопедия для детей. Я познаю мир.Математика. – М.: Издательство АСТ, 1999

Слайд 2

Существуют пять уникальных форм, имеющих первосте­пенное значение для понимания как сакральной, так и обычной геометрии. Они называются Платоновыми телами, хотя задолго до Платона ими пользовался Пифагор, назвав их иде­альными геометрическими телами. Любое Платоново тело имеет некоторые особые характеристики.

Слайд 3

Во-первых, все грани такого тела равны по размерам. Например, куб, самое известное из всех Платоновых тел, име­ет каждую грань в виде квадрата, и все они - одного размера. Во-вторых, ребра Платонова тела - одной длины: все ребра куба одинаковы. В-третьих, внутренние углы между его смеж­ными гранями равны. У куба такой угол равен 90 градусам.

Слайд 4

В-четвертых, каждое из Платоновых тел может быть вписано в сферу, каждой своей вершиной касаясь поверхности этой сферы. Есть только четыре формы помимо куба (А), отвечающие всем этим характеристикам: тетраэдр - В (тетра означает «четыре»), имеющий четыре грани в виде равносторонних треу­гольников; октаэдр - (окта означает «восемь»), восемь граней которого - равносторонние треугольники одинакового размера; икосаэдр - D; додекаэдр - Е. Последние два Платоновых тела несколько сложнее. Ико­саэдр имеет 20 граней, пред­ставленных равносторонними треугольниками. Додекаэдр (додека - это «двенадцать») имеет 12 граней в виде правиль­ных пятиугольников. На самом деле есть изна­чальная форма - это сфера, с которой все начинается, кото­рую считают шестым телом. Древние алхимики считали, что эти шесть форм связаны с определёнными элементами: куб – земля, тетраэдр – огонь, октаэдр - воздух, икосаэдр - вода, додекаэдр – эфир (эфир, прана и тахионная энергия - одно и то же; они распространяются повсюду и находятся в любой точке пространства – времени - измерения). А сфера - пустота. Эти шесть элементов являются строительными камнями Вселенной. Они создают качества Вселенной.

Слайд 5

Шесть элементов - первичных форм, как они представлены вписанными в сферы, - можно соотнести с тремя столбами, соответствующими Древу Жизни и трем первичным энергиям Вселенной. Слева - мужской столб, справа - женский, центральный столб, творящий, - это дитя. Или, если обратиться к веществу Вселенной, получится протон слева, электрон справа и нейтрон в центре.

Слайд 6

Куб. Куб отличается от других Платоновых тел одной осо­бенностью, которой нет ни у кого, кроме сферы: куб и сфера могут совершенно вмещать в себя четыре других Платоновых тела и друг друга, охватывая их своей поверхностью. В то время как сфера - это Мать, самая важная женская фор­ма, куб - Отец, самая важная мужская форма. Во всей реальнос­ти сфера и куб - две самые важные формы, они почти всегда до­минируют, когда речь идет о первоначальных связях в творении. Символически куб идентичен квадрату - четверке, числу ма­терии, числу четырех элементов. Куб - это идеальная стабиль­ность, устойчивое основание - символ самой земли. Поэтому часто монархи (например египетские фараоны) изображаются сидящими на кубическом камне, символе устойчивости их цар­ства. Куб - квадрат в трех изме­рениях, каждая грань которого имеет те же характеристики, что и остальные, поэтому он стал эмблемой правды. В ико­нографии часто используется как постамент для аллегори­ческих фигур Правды и Исто­рии. Согласно преданию народа майя, Древо Жизни выросло из куба. Как в иудаизме, так и в исламе куб являет собой центр веры. Паломники в Мекке об­ходят вокруг кубического сооружения Каабы, наиболее почи­таемой мусульманской святыни. Развертка куба в пространство представляет собой крест, и если христианские церкви обычно строятся так, что имеют в плане форму креста, то это именно потому, что крест - развер­тка в плоскость кубического камня: церковь должна представ­лять собой утверждение религии Христа на земле на долгие времена. Куб, являясь полностью закрытой фигурой, символизирует ограничение. Поэтому порожденный разверткой куба крест так­же обозначает ограничение, страдание.

Слайд 7

Тетраэдр. Эта фигура состоит из четырех правильных тре­угольников. Если развернуть их на плоскости, они образуют равносторонний треугольник - символ Бога. Как и равносторонний треугольник, тетраэдр представля­ет собой воплощение самой гармонии и равновесия. Угловые же точки куба, как и квадрата, находятся на разных расстояниях друг от друга, а это значит, что в этих фигурах есть постоянное напряжение.

Слайд 8

Октаэдр. Собственно говоря, октаэдр является «двойни­ком» куба: если соединить центры смежных граней куба, то получится октаэдр.

Слайд 9

Додекаэдр и икосаэдр. До­декаэдр - настолько сакральная форма, что во времена Пифаго­ра, если бы кто-то произнес это слово вне пифагорейской шко­лы, его убили бы на месте. Дву­мястами годами позже, когда жил Платон, он уже мог гово­рить о нем, но очень осторожно. «Это отчасти объяснялось тем, что с додекаэдром связыва­ли пятый элемент - эфир, или прану. В алхимии обычно речь идет только о четырех элементах: огне, земле, воздухе и воде, а о пране говорится редко, потому что она считается очень сакральной. Другая причина в том, что в те времена тщательно скрывалось древнее знание, согласно кото­рому додекаэдр близок к внешнему краю энергетического поля человека и является высшей формой сознания... Додекаэдр - это конечная точка геометрии, и он очень важен. На микроскопичес­ком уровне додекаэдр и икосаэдр - это взаимосвязанные пара­метры ДНК, план-карта всей жизни» (ДрунвалоМелхиседек).Если соединить центры граней додекаэдра прямыми лини­ями, то получится икосаэдр. Соединив центры граней икоса­эдра, снова получим додекаэдр. Многие многогранники име­ют «двойников». Вообще многогранник - одна из трехмерных геометрических фигур. Во все времена им предавали магическое значение.

Слайд 10

Слайд 11

Спасибо за внимание!!!

Посмотреть все слайды

1 из 17

Презентация на тему: «Платоновы тела»

№ слайда 1

Описание слайда:

№ слайда 2

Описание слайда:

№ слайда 3

Описание слайда:

№ слайда 4

Описание слайда:

Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º. Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º.

№ слайда 5

Описание слайда:

Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º. Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º.

№ слайда 6

Описание слайда:

№ слайда 7

Описание слайда:

Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º. Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º.

№ слайда 8

Описание слайда:

№ слайда 9

Описание слайда:

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени. Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду. Куб – самая устойчивая из фигур – землю. Октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

№ слайда 10

Описание слайда:

Кеплер предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Кеплер предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, к который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.

№ слайда 11

Описание слайда:

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис. 7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис. 7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

18.03.2018 04:55

Презентация выполнена к исследовательской работе, которая была представлена на Краевой НПК "Шаг в науку" и Всероссийской "Юность.Наука.Культура - Сибирь". В основной части работы рассматривается понятия правильных многогранников, их виды и развертки, шары кусудамы и их виды, проводится исследование шаров кусудамы. Изготавливаются правильные многогранники с помощью разверток и шары кусудамы на основе модульного оригами. Проводится проверка выполнения формулы Эйлера. Проведено сопоставление правильных многогранников с шарами кусудамами. Найдены сходства и различия. Работа несет в себе большую практическую и теоретическую ценность, она может быть использована на уроках математики, технологии, внеклассных мероприятиях. Используются методы моделирование, конструирование, поисковый метод, анализ и сравнение данных. Работа удостоена диплома 3 степени на Всероссийской научно-практической конференции. Опубликована на сайте исследовательских работ "Обучонок"

Просмотр содержимого документа
«Презентация к исследовательской работе "Платоновы и Архимедовы тела как основные формы шаров кусудамы"»

«Юность, наука, культура - Сибирь»

МБОУ «Дульдургинская средняя общеобразовательная школа»

Всероссийская научно-практическая конференция

Дульдургинский район 7 - а класс Руководитель: Кибирева Ирина Валерьевна учитель математики высшей квалификационной категории

Почетный работник общего образования РФ

МБОУ«Дульдургинская средняя общеобразовательная школа»

Платоновы и Архимедовы тела как основные формы шаров кусудамы

Пифагор (570 - 497 до н.э.) Платон (настоящее имя Аристокл,

427-347 до н.э.)

Евклид (365-300 гг. до н.э.)

Леонард Эйлер (1707-1783)

На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Форму додекаэдра, по мнению древних, имела ВСЕЛЕННАЯ, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.

Многогранники в архитектуре Москвы

Собор непорочного зачатия

Девы Марии

на малой Грузинской

Исторический музей

Геологические находки

Гранаты: Андрадит и Гроссуляр (найдены в бассейне реки Ахтаранда, Якутия)

Цель работы:

Выяснить какие многогранники относятся к Платоновым и Архимедовым телам и как они связаны с шарами кусудамы. Действительно ли шары кусудамы имеют их форму?

Объект исследования: Платоновы и Архимедовы тела, шары кусудамы

Предмет исследования: оригаметрия

Гипотеза:

Если изучить правильные, полуправильные многогранники и шары кусудамы, то можно увидеть в них сходства и дать описание шарам кусудамы с геометрической точки зрения.

Задачи исследования:

• Собрать и изучить литературу по темам «Платоновы и архимедовы тела», «Шары кусудамы».
• Применяя развертки изготовить правильные многогранники
• 3. Изготовить шары кусудамы
• 4. Проверить выполнение формулы Эйлера для правильных и полуправильных многогранников.
• 4. Найти взаимосвязь между многогранниками и шарами кусудамы.

Методы и средства:

• моделирование
• конструирование
• поисковый метод
• анализ и сравнение данных

Этапы исследования:

• Изучение литературы о правильных многогранниках (Платоновы тела), полуправильных многогранниках (Архимедовы тела), шарах кусудамы.
• Моделирование многогранников и шаров кусудамы.
• Сравнение и сопоставление шаров кусудамы с правильными многогранниками.
• Описание полученных данных.

Многогранник

• Многогранник – это замкнутая поверхность, составленная из многоугольников.

• Он называется выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Выполнения формулы Эйлера для правильных многогранников

Тетраэдр

Вершины

Ребра

Грани

Формула Эйлера

Додэкаэдр

Икосаэдр

Звездчатые формы

Звездчатая форма октаэдра – восьмиугольная звезда

Малый звездчатый додекаэдр

Шары кусудамы

• Кусудамы - это древние декоративные традиционные японские изделия в технике оригами.
• Кусудама - это разновидность оригами; поделка из бумаги, напоминающая цветочный шар.

Кубик

Аналог куба

Гироскоп

Грани треугольники, которые в явном виде не видимы. Если на каждые три вершины наложить треугольник, то получится октаэдр. У которого:

Общее число вершин – 8;

общее число вершин – 6,

общее число рёбер – 12,

Имеет форму октаэдра

общее число граней – 6.

общее число рёбер – 12,

общее число граней – 8.

Треугольный икосаэдр

Имеет форму икосаэдра

Цветочный шар

Является одной из звездчатых форм икосаэдра - малый триамбический икосаэдр.

Имеет форму додекаэдра, у которого:

Имеет форму икосаэдра

Имеет форму додекаэдра

общее число вершин – 20,

Для котороого:

общее число вершин – 32;

общее число рёбер – 30,

общее число рёбер – 60,

общее число граней – 12.

общее число граней – 20.

Имеет форму додекаэдра, у которого:

общее число вершин – 20,

Имеет форму додекаэдра

Если пригнуть ушки кусудамы, то можно явно заметить, что она имеет форму куба. Поэтому если не считать ушки то можно сказать, что у нее:

общее число рёбер – 30,

общее число вершин – 8;

Имеет форму куба

общее число граней – 12.

общее число рёбер – 12,

общее число граней – 6.

Флекси шар

Имеет форму икосаэдра, у которого:

общее число вершин – 12,

Имеет форму икосаэдра

общее число рёбер – 30,

общее число граней – 20.

Кубик без углов

Классическая кусудама

Имеет форму усеченного куба

Имеет форму усеченного куба. У которого:

общее число вершин – 24,

общее число рёбер – 36,

общее число вершин – 24,

Имеет форму усеченного куба

общее число граней – 14.

общее число рёбер – 36,

общее число граней – 14.

Грани: 8 – треугольников (не видимые),

6 - восьмиугольников

6 - восьмиугольников

Имеет форму усеченного куба

Кусудама роза

Имеет форму усеченного куба

Имеет форму усеченного куба. У которого:

У которого:

общее число вершин – 24,

общее число вершин – 24,

Имеет форму усеченного куба

общее число рёбер – 36,

общее число рёбер – 36,

общее число граней – 14.

общее число граней – 14.

Грани: 8 – треугольников (не видимые),

6 – восьмиугольников (если пригнуть ушки

6 - восьмиугольников

Звездчатый октаэдр

Является пересечением двух тетраэдров. Он имеет:

Звезда баскеты

Имеет форму звездчатого октаэдра

Это аналог большого звездчатого додекаэдра. Он имеет:

общее число вершин – 14,

общее число рёбер – 36,

общее число вершин – 32,

Имеет форму большого звездчатого додекаэдра

общее число граней – 24.

общее число рёбер – 90,

общее число граней – 60.

Кусудама кёрлер

У этой кусудамы трудно определить общее число вершин, ребер и граней. Но точно можно сказать, что она имеет звездчатую форму. Возможно это семнадцатая звёздчатая форма икосаэдра.

Выполнения формулы Эйлера для Архимедовых тел и шаров кусудамы

Название многогранника

Усеченный тетраэдр

Вершины

Ребра

Усеченный октаэдр

Усеченный куб

Грани

Формула Эйлера

Усеченный икосаэдр

Усеченный додекаэдр

24 + 14 = 36 + 2

Кубооктаэдр

24 + 14 = 36 + 2

Икосододекаэдр

60 + 32 = 90 + 2

Ромбокубоктаэдр

60 + 32 = 90 + 2

Ромбоикосододекаэдр

Ромбоусеченный кубооктаэдр

12 + 14 = 24 + 2

30 + 32 = 60 + 2

Ромбоусеченный икосододекаэдр

24 + 26 = 48 + 2

Курносый куб

Курносый додекаэдр

60 + 62 = 120 + 2

48 + 26 = 72 + 2

120 + 62 = 180 + 2

24 + 38 = 60 + 2

60 + 92 = 150 + 2

Вывод:

• Кусудамы во многом похожи на многогранники. Они в большинстве своём состоят из большого количества частей и имеют чёткую геометрическую форму. Сложить детали обычно не сложно, но сборка целого изделия порой потребует определённых усилий.
• Основой кусудамы, как правило, является какой-либо правильный многогранник (чаще всего куб, додекаэдр или икосаэдр). Несколько реже за основу берётся полуправильный многогранник.
• Модели шаров кусудамы в форме многогранников, производят на человека эстетическое впечатление и могут использоваться в качестве декоративных украшений.
• Такие изумительные и совершеннейшие объекты современного мира, как кусудамы, мало изучены.

Подготовила

учитель математики школы №555 «Белогорье»

Матвеева Надежда Васильевна

ода - икосаэдр

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

Вселенная – додекаэдр

Земля – куб

Огонь - тетраэдр

Вода - икосаэдр

Воздух - октаэдр

Платоновы тела

Звездчатые

многогранники

Платоновы тела

Тетраэдр

Тетра́эдр (четырёхгранник)-

многогранник с четырьмя треугольными гранями,

в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани.

У тетраэдра 4 грани,

4 вершины и

Куб или правильный гексаэдр -

правильный многогранник ,

каждая грань которого представляет собой квадрат . Частный случай параллелепипеда и призмы .

Гексаэдр

4 грани

8 вершин

12 рёбер

Окта́эдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα - «основание») - один из пяти выпуклых правильных многогранников , так называемых, Платоновых тел.

Додекаэдр

Икосаэдр

20 граней

30 вершин

32 ребра

Развёртки Платоновых тел

Многогранники в природе

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Алмаз (октаэдр

Шеелит (пирамида

Хрусталь (призма)

Поваренная соль (куб)

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок.

Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды

«Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Эвклид мог бы поучиться, познавая геометрию сот».

Живые многогранники

Многогранники в архитектуре

Казанская церковь в Москве

В Лондоне построят здание-многогранник

Национальная библиотека Белоруссии – сияющий ромбокубооктаэдр

Летний домик в виде многогранника

Общественный и культурный центр в Сингапуре

Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. На вершине башни стояла статуя Зевса Спасителя. Общая высота маяка составляла 117 метров.

Великие П ирамиды Египта в Гизе

Еги́петские пирами́ды - величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «семи чудес света» - пирамида Хеопса. Пирамиды представляют собой огромные каменные сооружения пирамидальной формы, использовавшиеся в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта.

Пример изображения правильных многогранников, выполненный художником XX века Сальвадором Дали (1904-1989) (рис. 5).

Многогранники в искусстве

1. Сколько существует видов правильных многогранников?(5,13,8,много)

Какие правильные многогранники имеют по 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии?(Икосаэдр,тетраэдр,додекаэдр,октаэдр)

Какой из математиков установил соотношения между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника?

(Платон, Архимед, Эйлер, Кеплер)

Домашнее задание:

Звездчатые многогранники

Тест "Правильные многогранники"

1. Сколько существует видов правильных многогранников?

Какие правильные многогранники имеют по 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии? ИкосаэдрТетраэдрДодекаэдрОктаэдр

Какой из математиков установил соотношения между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника? ПлатонАрхимедЭйлерКеплер

Согласно теории о связи структуры Земли с правильными многогранниками, проекции каких вписанных в земной шар фигур проступают в земной коре?

(Икосаэдр,гексаэдр, додекаэдр, октаэдр)