सागन अरबों और. ऑनलाइन पढ़ें "अरबों और अरबों"। अरबों और अरबों

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कार्ल सैगन
अरबों और अरबों: सहस्राब्दी के मोड़ पर जीवन और मृत्यु पर विचार

अनुवादक नतालिया किचेन्को

संपादक व्याचेस्लाव आयनोव

वैज्ञानिक संपादक व्लादिमीर सर्डिन, पीएच.डी. भौतिक – चटाई. विज्ञान

प्रोजेक्ट मैनेजर मैं. सेरेगिना

प्रूफ़रीडर एम. मिलोविडोवा, ई. अक्सेनोवा

कंप्यूटर लेआउट ए फोमिनोव

कवर डिजाइनर यू. बुगा

© 1997 डेमोक्रिटस प्रॉपर्टीज़, एलएलसी की अनुमति से द एस्टेट ऑफ़ कार्ल सागन द्वारा।

© रूसी में प्रकाशन, अनुवाद, डिज़ाइन। एल्पिना नॉन-फिक्शन एलएलसी, 2017

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* * *

मेरी बहन कारी, छह अरब में से एक

भाग I
संख्याओं की स्पष्टता और सुंदरता

अध्याय 1
अरबों और अरबों

ऐसे लोग हैं जो सोचते हैं कि रेत के कणों की संख्या अनंत है। ...अन्य लोग सोचते हैं कि यद्यपि यह संख्या अनंत नहीं है, फिर भी इससे अधिक की कल्पना करना असंभव है। ...इसके विपरीत, मैं ज्यामितीय परिशुद्धता के साथ यह साबित करने की कोशिश करूंगा कि आपको विश्वास हो जाएगा कि ... रेत के कणों की संख्या से भी अधिक संख्याएं हैं जिन्हें न केवल पृथ्वी के आयतन के बराबर अंतरिक्ष में समाहित किया जा सकता है ... बल्कि पूरी दुनिया भी.

- आर्किमिडीज़ (लगभग 287-212 ईसा पूर्व)। रेत के कणों की गणना 1
उद्धरण द्वारा: आर्किमिडीज़. रेत के कण गिनना (पसंमित)। - एम.-एल.: जीटीटीआई, 1932।

मैं कसम खाता हूँ, मैंने "अरबों और अरबों" वाक्यांश नहीं कहा! उदाहरण के लिए, मैं कह सकता हूँ, "100 अरब आकाशगंगाएँ और 10 अरब खरब तारे।" बड़ी संख्याओं का सहारा लिए बिना अंतरिक्ष का वर्णन करना असंभव है। मैंने टेलीविजन श्रृंखला "कॉसमॉस" के कार्यक्रमों में बार-बार "बिलियन" शब्द का उच्चारण किया, जिसे बड़ी संख्या में दर्शकों ने देखा। लेकिन "अरबों और अरबों" - कभी नहीं। यदि केवल इसलिए कि यह बहुत अस्पष्ट है। "अरबों और अरबों" - वह कितना है? दो या तीन अरब? बीस? एक सौ? प्रसार बहुत व्यापक है. टीवी सीरीज़ का नया संस्करण तैयार करते समय, मैंने हर चीज़ की सावधानीपूर्वक समीक्षा की और सुनिश्चित किया कि मैंने ऐसा कुछ नहीं कहा।

यह वाक्यांश जॉनी कार्सन द्वारा कहा गया था, जिसका अतिथि मैं "द टुनाइट शो" में कम से कम तीन दर्जन बार रहा हूं। वह एक कॉरडरॉय जैकेट और टर्टलनेक पहनता है, अपने बालों को सुलझाता है और, एक तरह से मेरी नकल करते हुए, शाम के टेलीविजन पर "बिलियन्स एंड बिलियन्स" जैसा कुछ लॉन्च करता है। और मैं इस तथ्य से थकने लगा हूं कि यह पैरोडी अपने आप में एक अलग जीवन बना लेती है, ऐसी कहावतें बोलती है जिनसे अगली सुबह मेरे दोस्त और सहकर्मी मुझे आश्चर्यचकित कर देते हैं। (अन्यथा, मैं मानता हूं कि गंभीर शौकिया खगोलशास्त्री कार्सन अक्सर सख्त वैज्ञानिक भाषा में बोलते हैं।)

अफ़सोस, "अरबों और अरबों" अटक गए। लोगों को इसकी आवाज बहुत पसंद आती है. समय-समय पर लोग मुझे सड़क पर, हवाई जहाज़ पर, किसी पार्टी में बुलाते हैं और थोड़ी शर्मिंदगी के साथ मुझसे यह कहने का शिष्टाचार पूछते हैं: "अरबों और अरबों।"

"आप देखिए, ये मेरे शब्द नहीं हैं," मैं समझाता हूँ।

"ठीक है, ठीक है," उन्होंने मुझे उत्तर दिया। - फिर भी मुझे बताओ।

यह पता चला कि शर्लक होम्स ने कभी भी "प्राथमिक, वॉटसन" नहीं कहा (कम से कम आर्थर कॉनन डॉयल की किताबों में), जिमी कॉग्नी 2
जेम्स कॉग्नी (1899-1986)- अमेरिकी अभिनेता और नर्तक। – टिप्पणी ईडी।

हम्फ्री बोगार्ट के चरित्र ने यह नहीं कहा कि "तुम एक गंदे चूहे हो" 3
हम्फ्री बोगार्ट (1899-1957)- अमेरिकी अभिनेता। – टिप्पणी ईडी।

यह नहीं कहा "इसे फिर से चलाओ, सैम।" लेकिन ये वाक्यांश लोकप्रिय संस्कृति में इस तरह रच-बस गए हैं कि इन्हें वास्तव में कहा गया माना जाता है।

इसलिए कंप्यूटर पत्रिकाओं में अरबों के बारे में इतनी असफल अभिव्यक्ति का श्रेय अभी भी मुझे दिया जाता है ("कार्ल सागन कहेंगे कि इसमें अरबों और अरबों बाइट्स लगते हैं"), अखबारों के पन्नों पर आर्थिक समीक्षाओं में, वेतन के बारे में कहानियों में खेल सितारे, आदि। डी।

अतीत में, मैंने इसे कभी भी, मौखिक या लिखित रूप से, नुकसान की दृष्टि से नहीं दोहराया होगा। लेकिन अब मैं इससे आगे निकल चुका हूं. और यदि यह कहानी के लिए आवश्यक है, तो कृपया:

– अरबों और अरबों!

यह मुहावरा इतना लोकप्रिय क्यों हो गया है? एक समय बड़ी संख्या का प्रतीक "मिलियन" था। अति धनवान करोड़पति थे। यीशु के समय पृथ्वी की जनसंख्या लगभग 250 मिलियन थी। 1787 के कन्वेंशन ने चार मिलियन अमेरिकियों को संविधान दिया; द्वितीय विश्व युद्ध की शुरुआत तक हममें से 132 मिलियन लोग पृथ्वी से सूर्य तक 150 मिलियन कि.मी. दूर थे। प्रथम विश्व युद्ध में लगभग 40 मिलियन लोग मारे गए, और द्वितीय विश्व युद्ध में 60 मिलियन लोग मारे गए, एक वर्ष में 31.7 मिलियन सेकंड होते हैं (आप इसकी जांच कर सकते हैं)। 1980 के दशक के अंत तक एकत्रित परमाणु शस्त्रागार की संयुक्त शक्ति दस लाख हिरोशिमा को नष्ट करने के लिए पर्याप्त होगी। लंबे समय तक, ज्यादातर मामलों में, "मिलियन" शब्द का अनिवार्य रूप से मतलब "अविश्वसनीय रूप से कई" होता था।

लेकिन समय बदल गया है. आजकल दुनिया में एक परत छाई हुई है अरबपतियों, और बिल्कुल नहीं क्योंकि पैसे का मूल्यह्रास हो गया है। पृथ्वी की आयु सामान्यतः 4.6 अरब वर्ष मानी जाती है। जनसंख्या 6 अरब से अधिक हो गई है। आपके दोनों जन्मदिनों में एक वर्ष और एक अरब किलोमीटर का अंतर है (पृथ्वी अंतरिक्ष में प्रक्षेपित किए गए वोयाजर्स की तुलना में सूर्य के चारों ओर बहुत तेजी से घूमती है)। चार बी-2 बमवर्षकों की कीमत एक अरब डॉलर (अन्य अनुमानों के अनुसार, दो या चार अरब) है। सभी छिपी हुई लागतों को ध्यान में रखते हुए, वार्षिक अमेरिकी रक्षा बजट $300 बिलियन से अधिक है। अमेरिका और रूस के बीच पूर्ण पैमाने पर परमाणु युद्ध की स्थिति में, लगभग एक अरब लोग तुरंत मर जाएंगे। कुछ सेंटीमीटर पदार्थ एक अरब परमाणुओं की श्रृंखला है। तारे और आकाशगंगाएँ भी कई अरबों की संख्या में हैं।

1980 में, जब टेलीविजन श्रृंखला "कॉसमॉस" का प्रसारण शुरू हुआ, तो लोग अरबों में गिनने के लिए तैयार थे। लाखों अब पर्याप्त नहीं थे; वे कल्पना पर प्रहार नहीं करते थे। इस बीच, ये दोनों शब्द समान लगते हैं, इन्हें भ्रमित करना आसान है। इसलिए, "कॉसमॉस" के प्रसारण पर मैंने "बिलियन" का उच्चारण इतनी ज़ोरदार अभिव्यक्ति के साथ किया कि कई दर्शकों ने इसे एक उच्चारण या भाषण बाधा माना।

मुझे एक पुराना चुटकुला याद आ गया. एक तारामंडल व्याख्याता आगंतुकों को बताता है कि 5 अरब वर्षों में, सूर्य एक लाल दानव बन जाएगा और बुध और शुक्र और अंततः, शायद, पृथ्वी को निगल जाएगा। व्याख्यान के बाद, एक चिंतित श्रोता उसे पकड़ लेता है:

- क्षमा करें, तुमने क्या कहा? क्या पाँच अरब वर्षों में सूर्य पृथ्वी को जला देगा?

- हाँ, लगभग।

- भगवान भला करे! मुझे लगा कि मैंने "पाँच मिलियन" सुना है।

चाहे पाँच मिलियन या पाँच अरब वर्षों में, पृथ्वी का भावी विनाश हमारे लिए विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक रुचि का विषय है। लेकिन जब सरकारी बजट, दुनिया की आबादी या परमाणु युद्ध के पीड़ितों की संख्या की बात आती है, तो इन मूल्यों के बीच अंतर बहुत महत्वपूर्ण है।

"अरबों और अरबों" वाक्यांश ने अभी तक अपनी लोकप्रियता नहीं खोई है, लेकिन इसका दायरा भी कम है। बड़ी संख्याओं का एक नया मानक निकट ही है - खरब.

वैश्विक सैन्य खर्च पहले से ही प्रति वर्ष 1 ट्रिलियन डॉलर तक पहुंच गया है। विकासशील देशों का पश्चिमी बैंकों पर कुल ऋण 2 ट्रिलियन डॉलर (1970 में 60 बिलियन डॉलर की तुलना में) के करीब पहुंच रहा है। अमेरिकी सरकार का सालाना बजट भी 2 ट्रिलियन डॉलर के करीब है। राष्ट्रीय ऋण लगभग 5 ट्रिलियन डॉलर है। तकनीकी रूप से संदिग्ध रीगन-युग के उपक्रम, स्ट्रैटेजिक डिफेंस इनिशिएटिव की लागत $ 1 ट्रिलियन से $ 2 ट्रिलियन तक अनुमानित की गई थी। पृथ्वी पर सभी पौधों का वजन एक ट्रिलियन टन है। अंतरिक्ष के पैमाने पर वस्तुतः हर चीज़ खरबों में मापी जाती है। सौर मंडल से निकटतम तारे, अल्फा सेंटॉरी तक, लगभग 40 ट्रिलियन किमी है।

रोजमर्रा की जिंदगी में, लोग परंपरागत रूप से लाखों, अरबों और खरबों को भ्रमित करते हैं, और टेलीविजन समाचारों में समान त्रुटि के बिना शायद ही कोई सप्ताह गुजरता है (अक्सर दस लाख और एक अरब "पीड़ित") होते हैं। इसलिए, मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं: एक मिलियन (अंग्रेजी में मिलियन) एक हजार हज़ार होता है, या एक के बाद छह शून्य होते हैं; बिलियन (अरब) - एक हजार मिलियन, एक के बाद नौ शून्य; ट्रिलियन (खरब) - एक हजार अरब (या, यह वही बात है, दस लाख लाखों), जिसे एक इकाई के रूप में लिखा जाता है और उसके बाद 12 शून्य होते हैं।

अमेरिका में ऐसा ही किया जाता है. ब्रिटिश अंग्रेजी में लंबे समय तक, बिलियन शब्द उस संख्या को दर्शाता था जिसे अमेरिका में ट्रिलियन कहा जाता है, और अमेरिकी बिलियन को, बिल्कुल सही, ब्रिटिश द्वारा "एक हजार मिलियन" कहा जाता था। यूरोप में एक अरब को मिलियार्ड शब्द से दर्शाया जाता था। मैं बचपन से ही डाक टिकटों का संग्रह करता आ रहा हूँ, और मेरे पास 1923 में जर्मनी में, जब मुद्रास्फीति चरम पर थी, जारी किया गया एक बिना रद्द किया गया डाक टिकट है, जिस पर लिखा था "50 बिलियन"। पत्र भेजने में 50 ट्रिलियन जर्मन मार्क खर्च हुए। (उन दिनों, आप नकदी से भरा ठेला लेकर बेकरी या किराने की दुकान पर जाते थे।) आजकल, दुनिया पर संयुक्त राज्य अमेरिका के महान प्रभाव के कारण, मिलियर्ड शब्द कई देशों में उपयोग से बाहर हो गया है।

यह समझने का सबसे विश्वसनीय तरीका कि हम किस संख्या के बारे में बात कर रहे हैं, बहुत सरल है - एक के बाद शून्य गिनें। सच है, यदि बहुत सारे शून्य हैं, तो यह एक बेकार बात है। इसलिए, लिखते समय तीन शून्यों के समूहों को अल्पविराम या रिक्त स्थान से अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक ट्रिलियन 1,000,000,000,000 या 1,000,000,000,000 जैसा दिखता है (यूरोप में, अल्पविराम के बजाय बिंदुओं का उपयोग किया जाता है।) जब ट्रिलियन से बड़ी संख्याओं का सामना करना पड़ता है, तो आपको हर बार गिनना चाहिए कि उनमें कितनी बार तीन शून्य हैं। किसी संख्या का नामकरण करते समय तुरंत यह बताना अधिक सुविधाजनक होगा कि एक के बाद कितने शून्य हैं।

वैज्ञानिक और गणितज्ञ, व्यावहारिक लोग, बस यही करते हैं - वे तथाकथित घातीय संकेतन का उपयोग करते हैं। संख्या दस लिखी गई है, जिसमें ऊपर दाईं ओर छोटे प्रिंट में एक संकेतक जोड़ा गया है - एक के बाद वर्णों की संख्या के अनुरूप एक संख्या। इस प्रकार, 10 6 = 1,000,000, 10 9 = 1,000,000,000, 10 12 = 1,000,000,000,000, आदि। इस घातांक को किसी संख्या का घातांक, घात या क्रम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 10 9 को "दस से नौवीं घात" के रूप में पढ़ा जाता है (अपवाद 10 2 और 10 3 हैं, जिन्हें आमतौर पर "दस वर्ग" और "दस घन" कहा जाता है)। शक्ति या व्यवस्था की अवधारणा - विज्ञान और गणित के कुछ अन्य शब्दों, जैसे "पैरामीटर" के साथ - रोजमर्रा की भाषा में अपनी जगह बना रही है, लेकिन इसका अर्थ तेजी से धुंधला होता जा रहा है।

अपनी स्पष्टता के अलावा, घातीय अंकन में किन्हीं दो संख्याओं को केवल उनकी घातें जोड़कर गुणा करने में सक्षम होने का अद्भुत अतिरिक्त लाभ है। मान लीजिए 1000 × 1,000,000,000 = 10 3 × 10 9 = 10 12। या आइए बड़ी संख्याएँ लें: औसत आकाशगंगा में 10 11 तारे हैं, स्वयं आकाशगंगाएँ भी 10 11 हैं, इसलिए, अंतरिक्ष में लगभग 10 22 तारे हैं।

फिर भी, घातीय संकेतन को उन लोगों द्वारा शत्रुता का सामना करना पड़ता है जो गणित में अच्छे नहीं हैं (हालांकि, इसके विपरीत, इसे समझना आसान है), और टाइपसेटर्स जो उन्हें रोटी नहीं खिलाते हैं - उन्हें 10 9 के बजाय 109 टाइप करने दें (कर्मचारी रैंडम हाउस पब्लिशिंग हाउस, जैसा कि आप देख सकते हैं, एक सुखद अपवाद हैं)।

पहली छह बड़ी संख्याएँ, जिनके नाम हैं, नीचे बॉक्स में दी गई हैं। प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से 1000 गुना बड़ी है। एक ट्रिलियन से बड़ी संख्याओं के नाम व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किए जाते हैं। यदि आप चौबीसों घंटे बिना रुके गिनती करें, प्रति सेकंड एक जोड़कर, तो दस लाख तक गिनती करने में एक सप्ताह से अधिक समय लगेगा। एक अरब आपकी आधी जिंदगी ले लेगा। आप क्विंटिलियन तक नहीं पहुंच पाएंगे, भले ही आप तब तक जीवित रहें जब तक ब्रह्मांड मौजूद है।

एक बार जब आप घातीय अंकन में महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप आसानी से बड़ी संख्याओं का सामना कर सकते हैं, जैसे कि एक चम्मच मिट्टी में सूक्ष्मजीवों की अनुमानित संख्या (10 8), पृथ्वी के सभी समुद्र तटों पर रेत के कण (लगभग 10 20), जीवित हमारे ग्रह पर जीव (10 29), पृथ्वी पर सारा जीवन (10 41), सूर्य में परमाणु नाभिक (10 57) या पूरे अंतरिक्ष में प्राथमिक कण (इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन) (10 80)। तुम अब भी नहीं कर पाओगे परिचय देनाएक अरब या क्विंटिलियन वस्तुएँ - और कोई नहीं कर सकता। लेकिन घातीय अंकन के लिए धन्यवाद, हम सक्षम हैं प्रचालनसमान मान और गणना में उनका उपयोग करें। स्व-सिखाए गए लोगों के लिए बुरा नहीं है जो इस दुनिया में कुछ भी नहीं लेकर आए थे और अपने साथी आदिवासियों को उंगलियों और पैर की उंगलियों पर गिनते थे!

इससे भी बड़ी संख्याओं के नाम हैं सेक्स्टिलियन (10 21), सेप्टिलियन (10 24), ऑक्टिलियन (10 27), नॉनिलियन (10 30) और डेसिलियन (10 33)। पृथ्वी का द्रव्यमान 6 ऑक्टिलियन ग्राम है।

विज्ञान में स्वीकृत घातांकीय संकेतन के अलावा, प्रत्येक संख्या को उपसर्गों का उपयोग करके शब्दों में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रॉन के पार एक फेम्टोमीटर (10-15 मीटर) होता है, पीली रोशनी की तरंग दैर्ध्य आधा माइक्रोमीटर (0.5 माइक्रोमीटर) होती है, मानव आंख एक मिलीमीटर के दसवें हिस्से (10-4 मीटर) के आकार के कीट को पहचान सकती है ), पृथ्वी की त्रिज्या 6300 किमी (6.3 मेगामीटर) है, एक औसत पर्वत का वजन 100 पेटाग्राम (10 17 ग्राम) है। यहां सभी संभावित उपसर्ग और उनके अर्थ दिए गए हैं:

वास्तव में बड़ी संख्याएँ आधुनिक विज्ञान का जीवन और रक्त हैं, लेकिन किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि यह एक आधुनिक आविष्कार है।

भारत में, अंकगणित ने लंबे समय से विशाल संख्याओं पर महारत हासिल कर ली है। भारतीय अखबारों में अक्सर लाखों या करोड़ों रुपए के खर्च के बारे में पढ़ने को मिलता है। प्रणाली इस प्रकार है: दास - 10, सं - 100, हजार - 1000, लाख - 10 5, करोड़ - 10 7, अरब - 10 9, करब - 10 11, नी - 10 13, पदम - 10 15 और शंख - 10 17. आधुनिक मेक्सिको के क्षेत्र में रहने वाले माया भारतीयों ने, जिनकी सभ्यता यूरोप से आए नवागंतुकों द्वारा नष्ट कर दी गई थी, एक कैलेंडर संकलित किया, जिसकी लंबाई यूरोपीय लोगों के अनुसार, इसके निर्माण के बाद से गुजरे कुछ हजार वर्षों की तुलना में बहुत कम है। दुनिया। मैक्सिकन राज्य क्विंटाना रू में कोबा शहर के खंडहरों के बीच, शिलालेखों की खोज की गई थी, जिसके अनुसार मायाओं ने ब्रह्मांड की आयु लगभग 10 29 वर्ष आंकी थी। हिंदुओं का मानना ​​था कि ब्रह्मांड का वर्तमान अवतार 8.6 × 10 9 वर्ष पुराना है - और वे लगभग सही थे। और गणितज्ञ आर्किमिडीज़, जो तीसरी शताब्दी में सिसिली में रहते थे। ईसा पूर्व ई., ने अपनी पुस्तक "कैलकुलस ऑफ ग्रेन्स ऑफ सैंड" में गणना की कि पूरे स्थान को भरने के लिए रेत के 10 63 कणों की आवश्यकता होती है। उन दिनों भी, वास्तव में बड़े पैमाने की समस्याओं को हल करने के लिए अरबों-खरबों डॉलर स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं थे।

अध्याय दो
फ़ारसी शतरंज

विश्लेषणात्मक समीकरणों से अधिक व्यापक, और सरल, त्रुटियों और अस्पष्टताओं से मुक्त, यानी वास्तविक दुनिया के अपरिवर्तनीय संबंधों को व्यक्त करने के लिए अधिक योग्य कोई भाषा नहीं हो सकती... गणितीय विश्लेषण, मानव मस्तिष्क की एक क्षमता होने के नाते, बनाता है हमारे जीवन की संक्षिप्तता और हमारी भावनाओं की अपूर्णता के लिए।

- जीन बैप्टिस्ट जोसेफ फूरियर। ऊष्मा का विश्लेषणात्मक सिद्धांत (1822) 4
उद्धरण से: विज्ञान का जीवन। प्राकृतिक विज्ञान के क्लासिक्स के परिचय का संकलन। - एम.: नौका, 1973।

जिस संस्करण के बारे में मैं जानता हूँ, उसमें यह कहानी प्राचीन फारस में घटित हुई थी, हालाँकि यह भारत और यहाँ तक कि चीन में भी घटित हो सकती थी। किसी भी मामले में, यह बहुत समय पहले की बात है। शासक के मुख्य सलाहकार, ग्रैंड विज़ियर ने एक नए खेल का आविष्कार किया जिसमें लाल और काले रंग के 64 वर्गों से पंक्तिबद्ध एक वर्गाकार बोर्ड पर टुकड़ों को घुमाना आवश्यक था। सबसे महत्वपूर्ण व्यक्ति शासक था, अगला सबसे महत्वपूर्ण व्यक्ति वज़ीर था, जैसा कि आविष्कारक के व्यक्तित्व को देखते हुए, कोई उम्मीद कर सकता था। खिलाड़ी का लक्ष्य दुश्मन के मुख्य टुकड़े को नष्ट करना था, और फ़ारसी भाषा में संबंधित शब्दों (चेक - शासक, चेकमेट - मौत) के अनुसार, खेल को "शतरंज" कहा जाता था। वस्तुतः, "शासक की मृत्यु।" रूसी भाषा में इस खेल को आज भी वही कहा जाता है, जो जाहिर तौर पर रूसी लोगों की विशेष क्रांतिकारी भावना को दर्शाता है। समय बीतता गया, मोहरे, उनकी चालें और खेल के नियम बदल गये। इस प्रकार, वज़ीर का स्थान अब रानी ने ले लिया है, जिसके पास अतुलनीय रूप से अधिक क्षमताएं हैं।

शाह को "किल द रूलर" खेल कैसे पसंद आया होगा यह एक रहस्य है। हालाँकि, किंवदंती कहती है, शाह नए मनोरंजन से इतने प्रसन्न हुए कि उन्होंने ग्रैंड वज़ीर को खुद के लिए पुरस्कार नियुक्त करने के लिए आमंत्रित किया। इस प्रस्ताव से उन्हें कोई आश्चर्य नहीं हुआ। वज़ीर ने उत्तर दिया कि वह एक विनम्र व्यक्ति था और उसका अनुरोध सबसे विनम्र होगा। यहां आठ स्तंभों और आठ पंक्तियों में एक गेम बोर्ड बिछाया गया है। पहली कोठरी में गेहूँ का केवल एक दाना रखा जाए, दूसरी पर उसका दोगुना और तीसरी पर उसका दोगुना। अधिकदोगुनी संख्या में और इसी तरह जब तक सभी कोशिकाएँ भर न जाएँ। शाह ने विरोध किया. इतने अद्भुत आविष्कार के लिए इतनी कम कीमत चुकानी पड़ी! उसने आभूषण, सुन्दरताएँ, महल अर्पित किये। लेकिन ऋषि ने विनम्रतापूर्वक अपना सिर नीचे करते हुए किसी भी उपहार को अस्वीकार कर दिया। उसे बस थोड़े से गेहूं की जरूरत है। और शासक, गुप्त रूप से अपने सलाहकार की स्पष्टता और जिद के बारे में शिकायत करते हुए सहमत हो गया।

हालाँकि, जब शाही अन्न भंडार के रखवाले ने अनाज गिनना शुरू किया, तो एक अप्रिय आश्चर्य सामने आया। यह सब छोटे से शुरू हुआ: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024... लेकिन आगे, संख्याएँ अधिक राक्षसी, अकल्पनीय रूप से बड़ी हो गईं। अंतिम, 64वाँ सेल लगभग 18.5 क्विंटिलियन से मेल खाता है (नीचे साइडबार देखें)। ग्रैंड विज़ियर संभवतः उच्च फाइबर आहार पर था।

18.5 क्विंटल गेहूं के दानों का वजन कितना होता है? यदि हम प्रत्येक दाने का आकार एक मिलीमीटर के बराबर मानें, तो उनका कुल वजन लगभग 75 बिलियन टन होगा - किसी भी शाह के भंडार से कहीं अधिक। कड़ाई से कहें तो, यह 150 वर्षों की फसल है आधुनिकउत्पादन की मात्रा. आगे जो कुछ है वह समय के अँधेरे में खो गया है। क्या शाह ने अंकगणित की उपेक्षा के लिए खुद को दोषी ठहराते हुए अपनी शक्ति ऋषि को सौंप दी, या नया खेल "विजीमत" खेलना पसंद किया, यह अज्ञात रहा।

शायद फ़ारसी शतरंज के आविष्कार की कहानी सिर्फ एक परी कथा है। लेकिन प्राचीन फारसियों और भारतीयों ने वास्तव में गणित में कई शानदार खोजें कीं और वे लगातार दोगुने होने वाले परिणामों से अच्छी तरह परिचित थे। यदि शतरंज का खेल सौ वर्गों (10 × 10) वाले बोर्ड पर खेला जाता है, तो चेकर को पृथ्वी के वजन के बराबर कुल वजन के साथ वज़ीर गेहूं का भुगतान करना होगा। एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें प्रत्येक आगामी संख्या पिछली संख्या को एक निश्चित मान से गुणा करने का परिणाम होती है, ज्यामितीय प्रगति कहलाती है, और कुल को बढ़ाने की संबंधित प्रक्रिया को घातांकीय वृद्धि कहा जाता है।

ज्यामितीय प्रगति जीवन के सभी महत्वपूर्ण क्षेत्रों, सामान्य और विदेशी, में पाई जाती है। आइए उदाहरण के तौर पर चक्रवृद्धि ब्याज लें। यदि आपके पूर्वज ने 200 साल पहले, क्रांतिकारी युद्ध के तुरंत बाद, 5% ब्याज पर बैंक में 10 डॉलर जमा किए थे, तो खाते में पहले से ही $10 x 1.05,200, या $172,925.81 होंगे। (यह जानने के लिए कि 1.05 200 कितना है, आपको बस संख्या 1.05 को 200 बार गुणा करना होगा।) यह अफ़सोस की बात है कि कुछ पूर्वज दूर के वंशजों की भलाई के बारे में इतनी परवाह करते हैं, और $10 - एक बड़ी राशि उन दिनों - ऐसा नहीं मिलता कि हर किसी के पास होता है। यदि आपके उदार पूर्वज ने 6% प्रति वर्ष की दर से जमा राशि रखी है, तो आपको एक मिलियन से अधिक विरासत में मिलेगी, 7% पर - $7.5 मिलियन से अधिक - एक शानदार 10% प्रति वर्ष आपको एक अच्छी रकम मिलेगी - $1.9 बिलियन।

मुद्रास्फीति इसी प्रकार काम करती है। प्रति वर्ष 5% की मुद्रास्फीति दर पर, एक वर्ष में एक डॉलर की कीमत $0.95 होगी, दो वर्षों में (0.95)² = $0.91, 10 वर्षों में इसका "वजन कम होकर $0.61 हो जाएगा", 20 में - $0.37, आदि। यह सबसे सीधे तौर पर पेंशनभोगियों से संबंधित है, जिनका वार्षिक भुगतान निश्चित है और मुद्रास्फीति के लिए अनुक्रमित नहीं है।

बार-बार दोगुना होना और इसलिए, घातीय वृद्धि जैविक जीवों के प्रजनन की एक विशिष्ट विशेषता है। आइए एक सरल उदाहरण से शुरू करें - एक जीवाणु जो विभाजन द्वारा प्रजनन करता है। आवश्यक समय के बाद, दोनों पुत्री जीवाणुओं में से प्रत्येक भी दो में विभाजित हो जाता है। पर्याप्त मात्रा में भोजन और आवास में जहरों की अनुपस्थिति के साथ, बैक्टीरिया की कॉलोनी तेजी से बढ़ती है। सबसे अनुकूल परिस्थितियों में, उनकी संख्या लगभग हर 15 मिनट में दोगुनी हो जाती है: प्रति घंटे चार दोगुनी, प्रति दिन 96। एक जीवाणु का वजन एक ग्राम के लगभग एक खरबवें हिस्से का होता है, लेकिन बेलगाम प्रजनन के एक दिन में ही उसके वंशजों का वजन एक पहाड़ के बराबर हो जाएगा, लगभग डेढ़ दिन में - पृथ्वी के बराबर, और दो दिनों में वे सूर्य से अधिक वजन के हो जाएंगे। ...थोड़ा और समय बीत जाएगा, और पूरा ब्रह्मांड बैक्टीरिया से भर जाएगा। संभावनाएँ बहुत उज्ज्वल नहीं हैं, लेकिन, सौभाग्य से, अवास्तविक हैं। क्यों? क्योंकि ऐसी घातीय वृद्धि अनिवार्य रूप से किसी न किसी प्राकृतिक बाधा से टकराती है। उदाहरण के लिए, कीड़े सारा भोजन खा जाते हैं, एक-दूसरे को जहर दे देते हैं, या बहुत अधिक होने पर संभोग करना बंद कर देते हैं। घातीय वृद्धि हमेशा के लिए जारी नहीं रह सकती है, अन्यथा यह सब कुछ खा जाएगी, लेकिन उससे बहुत पहले, एक सीमित कारक खेल में आता है। घातीय वक्र एक पठार तक पहुँचता है (चित्र देखें)।

एड्स महामारी के मद्देनजर यह सुविधा बहुत महत्वपूर्ण है। आजकल कई देशों में इस बीमारी के लक्षण वाले लोगों की संख्या तेजी से बढ़ रही है, हर साल दोगुनी हो रही है। इसका मतलब यह है कि हर साल पिछले साल की तुलना में एड्स वायरस के दोगुने वाहक होते हैं। एड्स से पहले ही जानमाल का भारी नुकसान हो चुका है। यदि महामारी का तेजी से प्रसार जारी रहा, तो मानवता को एक अभूतपूर्व तबाही का सामना करना पड़ेगा। 10 वर्षों में, मामलों की संख्या एक हजार गुना बढ़ जाएगी, और 20 वर्षों में - एक मिलियन। रोगियों की वर्तमान संख्या को दस लाख से गुणा करने पर, हमें एक परिणाम मिलता है जो पृथ्वी की जनसंख्या से कहीं अधिक है। यदि एड्स रोगियों की संख्या के वार्षिक दोगुने होने की कोई प्राकृतिक सीमा नहीं होती, और यह बीमारी अनिवार्य रूप से घातक परिणाम देती (और बिल्कुल लाइलाज थी), तो सभी पृथ्वीवासी एड्स से मर जाते, और बहुत जल्दी।

हालाँकि, कुछ लोगों में जन्मजात प्रतिरक्षा होती है। इसके अतिरिक्त, अमेरिकी स्वास्थ्य विभाग के संक्रामक रोगों के केंद्र के अनुसार, एड्स की घटनाओं में तेजी से वृद्धि शुरू में लगभग विशेष रूप से उच्च जोखिम वाले समूहों में हुई - मुख्य रूप से समलैंगिक पुरुष, हीमोफिलिया, और अंतःशिरा दवा उपयोगकर्ता - जिनका वस्तुतः कोई यौन संपर्क नहीं है शेष जनसंख्या. यदि एड्स का इलाज नहीं मिला, तो हेरोइन के नशेड़ी जो सुइयां साझा करते हैं, मर जाएंगे। सभी जन्मजात प्रतिरक्षा के लिए धन्यवाद नहीं, लेकिन लगभग सभी। वही भाग्य उन समलैंगिकों का इंतजार करता है जिनके अनैतिक और असुरक्षित रिश्ते हैं, लेकिन यह उन लोगों के साथ नहीं होगा जो सुरक्षा के साधनों की कभी उपेक्षा नहीं करते हैं, एक स्थायी साथी के प्रति वफादार रहते हैं, और उन भाग्यशाली लोगों में से हैं जो इस बीमारी से प्रतिरक्षित हैं। 1980 के दशक की शुरुआत से 100% विषमलैंगिक। जो लोग एक-दूसरे को धोखा नहीं देते हैं (या सुरक्षित यौन संबंध नहीं बनाते हैं), बशर्ते कि वे सीरिंज साझा न करें - और ऐसे अधिकांश लोग - आमतौर पर एड्स के खिलाफ बीमाकृत होते हैं। सबसे अधिक जोखिम वाले समूहों की घटना वक्र एक पठार पर पहुंचने के बाद, कम संवेदनशील समूहों की बारी होगी। वर्तमान में अमेरिका में, ये स्पष्ट रूप से विषमलैंगिक युवा हैं जो नहीं जानते कि अपने जुनून पर कैसे अंकुश लगाया जाए और वे असुरक्षित प्रयोगों से दूर हो जाते हैं। उनमें से कई मर जाएंगे, कुछ को भाग्य, जन्मजात प्रतिरक्षा या संयम से बचा लिया जाएगा, और घटनाओं में वृद्धि का चरम अगले जोखिम वाले समूह में चला जाएगा - शायद समलैंगिक पुरुषों की अगली पीढ़ी। परिणामस्वरूप, पूरी मानवता के लिए घातीय वक्र एक पठार पर पहुंच जाएगा, और एड्स पृथ्वी की पूरी आबादी की तुलना में बहुत कम लोगों को मारेगा (जो, हालांकि, इसके कई पीड़ितों और उनके प्रियजनों को सांत्वना देने की संभावना नहीं है)।

* * *

पृथ्वी का अत्यधिक जनसंख्या संकट भी घातीय वृद्धि की घटना से जुड़ा हुआ है। मानव जाति के अधिकांश अस्तित्व के दौरान, इसकी जनसंख्या व्यावहारिक रूप से स्थिर थी - जन्म दर और मृत्यु दर एक दूसरे को संतुलित करती थी। इस अवस्था को गतिशील संतुलन कहा जाता है। कृषि के विकास के साथ, जिसमें उसी गेहूं की खेती के तरीके भी शामिल थे जिसकी महान विज़ियर को इच्छा थी, मानव आबादी बढ़ने लगी और तेजी से वृद्धि के चरण में प्रवेश कर गई। और यह संतुलन के अलावा कुछ भी नहीं है. अब हमारे ग्रह की जनसंख्या 40 वर्षों में दोगुनी हो रही है। हर 40 साल में हमारी संख्या दोगुनी हो जाती है. अंग्रेज पादरी थॉमस माल्थस ने 1798 में कहा था: तेजी से बढ़ रही जनसंख्या - माल्थस की शब्दावली में, ज्यामितीय प्रगति में - खाद्य उत्पादन में किसी भी वृद्धि के साथ भूख से मर जाएगी। कोई हरित क्रांति, कोई हाइड्रोपोनिक्स, कोई रेगिस्तान का विकास खाने वालों की संख्या में तेजी से वृद्धि की भरपाई नहीं करेगा।

इस समस्या का पृथ्वी के बाहर कोई समाधान भी नहीं है। अब प्रतिदिन होने वाली मौतों की तुलना में लगभग 240,000 अधिक लोग पैदा होते हैं। हमारी क्षमताएं, इसे हल्के ढंग से कहें तो, प्रति दिन 240,000 प्रवासियों को अंतरिक्ष में भेजने के लिए अपर्याप्त हैं। पृथ्वी की कक्षा में, चंद्रमा पर या मंगल ग्रह पर कोई भी आधार इतनी तेजी से बढ़ती आबादी के किसी भी महत्वपूर्ण हिस्से को समायोजित नहीं कर पाएगा। यहां तक ​​​​कि अगर हम सभी को सुपरल्यूमिनल गति वाले जहाजों पर अन्य स्टार सिस्टम में स्थानांतरित कर सकते हैं, तो भी इससे मदद नहीं मिलेगी। एक सहस्राब्दी के भीतर आकाशगंगा में रहने योग्य सभी ग्रह अत्यधिक जनसंख्या से भर जायेंगे। जब तक हम प्रजनन की दर कम नहीं करेंगे तब तक सब कुछ बेकार है। घातीय वृद्धि गंभीर व्यवसाय है.

नीचे दिया गया चित्र पृथ्वी के जनसंख्या परिवर्तन वक्र को दर्शाता है। अभी हम तीव्र घातीय वृद्धि के चरण में हैं (या हम इससे बाहर निकलने वाले हैं)। लेकिन संयुक्त राज्य अमेरिका, रूस और चीन जैसे कई देश पहले ही उस स्थिति में पहुंच चुके हैं या जल्द ही पहुंचेंगे जहां जनसंख्या वृद्धि धीमी हो जाती है और एक गतिशील संतुलन स्थापित हो जाता है। यह तथाकथित शून्य जनसंख्या वृद्धि है। हालाँकि, ज्यामितीय प्रगति में वृद्धि इतने बड़े पैमाने पर है कि अगर पृथ्वीवासियों का कम से कम एक छोटा सा हिस्सा तेजी से प्रजनन करना जारी रखता है, तो समग्र स्थिति अभी भी नहीं बदलेगी। कुल मानव जनसंख्या भी तेजी से बढ़ेगी।

गरीबी और उच्च जन्म दर के बीच एक स्पष्ट रूप से सिद्ध संबंध है। बड़े और छोटे देशों में, पूंजीवादी और साम्यवादी, कैथोलिक और मुस्लिम, पश्चिम और पूर्व में - लगभग हर जगह, गरीबी दूर होने पर तेजी से जनसंख्या वृद्धि धीमी हो जाती है या रुक जाती है। एक तथाकथित जनसांख्यिकीय बदलाव हो रहा है। मानव प्रजाति की सबसे महत्वपूर्ण रणनीतिक आवश्यकता हमारे ग्रह के हर कोने में इस बदलाव को महसूस करना है। न केवल नैतिक दायित्व के कारण, बल्कि प्रत्यक्ष लाभ की दृष्टि से भी, अमीर देशों को गरीब देशों को आर्थिक स्थिरता प्राप्त करने में मदद करनी चाहिए। वैश्विक जनसांख्यिकीय संकट का एक मुख्य कारण गरीबी है।

जनसांख्यिकीय बदलाव के दिलचस्प अपवाद हैं। ऐसे देश हैं जहां प्रति व्यक्ति आय अधिक होने के बावजूद जन्म दर अभी भी महत्वपूर्ण है। ये ऐसे राज्य हैं जहां आबादी के पास गर्भनिरोधक तक वस्तुतः कोई पहुंच नहीं है और/या महिलाओं पर वस्तुतः कोई राजनीतिक प्रभाव नहीं है। इन कारकों के बीच संबंध स्पष्ट है.

इस पुस्तक के लिखे जाने के समय पृथ्वी पर लगभग 6 अरब लोग रहते थे। यदि वर्तमान विकास दर जारी रहती है, तो 40 वर्षों में हम 12 अरब होंगे, 80 वर्षों में - 24 अरब, 120 वर्षों में - 48 अरब... आम सहमति यह है कि पृथ्वी इतने सारे लोगों को खिलाने में सक्षम नहीं है। हममें से बहुत से लोग पहले से ही ऐसे हैं जो वैश्विक स्तर पर गरीबी उन्मूलन को आने वाले कई दशकों तक मानवता के सामने आने वाले संकट से उबरने का सबसे सस्ता और निश्चित रूप से सबसे मानवीय तरीका मानते हैं। हमारा कार्य व्यापक जनसांख्यिकीय बदलाव सुनिश्चित करना और जनसंख्या वृद्धि वक्र को स्थिर स्तर पर लाना है। हमें सभी देशों में लोगों को गरीबी से बाहर निकालना चाहिए, उन्हें जन्म नियंत्रण के सुरक्षित और प्रभावी साधन प्रदान करने चाहिए, और महिलाओं को समाज में एक वास्तविक ताकत बनाना चाहिए (उन्हें कार्यकारी, विधायी, न्यायिक, कानून प्रवर्तन एजेंसियों और जनमत को प्रभावित करने वाली संस्थाओं में अनुमति देकर) ). अन्यथा, अन्य प्रक्रियाएँ जिन पर हमारा कोई नियंत्रण नहीं है, सक्रिय हो जाती हैं।

* * *

वैसे...

परमाणु नाभिक के विखंडन का विचार सबसे पहले सितंबर 1933 में लंदन में हंगरी के प्रवासी भौतिक विज्ञानी लियो स्ज़ीलार्ड के दिमाग में आया था। उन्हें इस सवाल में दिलचस्पी थी कि क्या मनुष्य परमाणु के नाभिक में निहित विशाल ऊर्जा को मुक्त कर सकता है। यदि आप एक न्यूट्रॉन को नाभिक में भेजते हैं तो क्या होता है? (विद्युत आवेश की कमी के कारण, न्यूट्रॉन धनावेशित प्रोटॉन द्वारा विकर्षित नहीं होगा और नाभिक से टकराएगा।) जब वैज्ञानिक साउथेम्प्टन रो चौराहे पर ट्रैफिक लाइट के हरे होने का इंतजार कर रहे थे, तो उन्हें ध्यान आया कि हो सकता है कोई पदार्थ हो, कोई रासायनिक तत्व हो, जिसके परमाणु के एक न्यूट्रॉन से टकराने पर दो न्यूट्रॉन निकलते हों! इनमें से प्रत्येक दोन्यूट्रॉन अन्य परमाणुओं से कुछ और न्यूट्रॉन को नष्ट कर सकते हैं... और स्ज़ीलार्ड के दिमाग की आंखों के सामने एक परमाणु श्रृंखला प्रतिक्रिया की तस्वीर दिखाई दी - न्यूट्रॉन के घातीय गुणन और परमाणु नाभिक के क्षय की एक हिमस्खलन जैसी प्रक्रिया। उस शाम, स्ट्रैंड पैलेस होटल के एक छोटे से कमरे में, उन्होंने गणना की कि केवल कुछ किलोग्राम पदार्थ, यदि इसमें नियंत्रित श्रृंखला प्रतिक्रिया पैदा कर सके, तो एक छोटे शहर को पूरे वर्ष के लिए ऊर्जा की आपूर्ति की जा सकती है... या यदि यह सारी ऊर्जा एक ही बार में जारी कर दी जाए तो इस शहर को तुरंत नष्ट कर दो। इसके बाद, स्ज़ीलार्ड संयुक्त राज्य अमेरिका चले गए और ऐसे तत्वों की तलाश में रासायनिक तत्वों को व्यवस्थित रूप से छांटना शुरू कर दिया, जिनके परमाणु, जब न्यूट्रॉन के साथ बमबारी करते हैं, तो वे टकराने की तुलना में अधिक न्यूट्रॉन उत्सर्जित करते हैं। यूरेनस उसे आशाजनक लग रहा था। स्ज़ीलार्ड ने अल्बर्ट आइंस्टीन को राष्ट्रपति रूजवेल्ट को एक अब प्रसिद्ध पत्र लिखने के लिए राजी किया, जिसमें संयुक्त राज्य अमेरिका में जल्द से जल्द परमाणु बम बनाने का आह्वान किया गया। स्ज़ीलार्ड ने 1942 में शिकागो में किए गए यूरेनियम नाभिक के विखंडन पर पहले सफल प्रयोग का नेतृत्व किया, जो परमाणु हथियारों के निर्माण की दिशा में पहला कदम बन गया, और अपने शेष जीवन में उन्होंने खतरे के प्रति मानव जाति की आँखें खोलने की कोशिश की। राक्षसी शक्ति जो उसने स्वयं प्रकट की थी। इस प्रकार लियो स्ज़ीलार्ड ने घातीय वृद्धि की शक्ति की खोज की।

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हम में से प्रत्येक के दो माता-पिता, चार दादा-दादी, आठ परदादा, 16 परदादा-परदादा आदि हैं। एक पीढ़ी में प्रत्येक परिवर्तन के साथ, सीधी रेखा में पूर्वजों की संख्या दोगुनी हो जाती है। फ़ारसी शतरंज की किंवदंती के साथ समानताएँ स्पष्ट हैं। मान लीजिए कि हर 25 साल में पीढ़ियां बदल जाती हैं। फिर 64 पीढ़ियाँ 64 × 25 = 1600 वर्षों में समा जाती हैं (कितने वर्ष पहले प्राचीन रोम अपने पतन के करीब पहुँच गया था)। इससे पता चलता है कि आज रहने वाले प्रत्येक व्यक्ति को 400 ई.पू. में होना चाहिए था। इ। लगभग 18.5 क्विंटल पूर्वज (साइडबार देखें)? और पार्श्व रेखाओं पर रिश्तेदारों को ध्यान में रखे बिना। लेकिन यह पृथ्वी की संपूर्ण जनसंख्या से कहीं अधिक है, तब और अब, अब तक जीवित रहे लोगों की कुल संख्या से भी कहीं अधिक। गलती कहां है? इस आधार पर कि हमारे सभी प्रत्यक्ष पूर्वज अलग-अलग लोग हैं। बेशक, यह सच नहीं है. वंशानुक्रम की कई पंक्तियाँ एक ही पूर्वज तक जाती हैं। हममें से प्रत्येक एक-दूसरे से अनेक अंतर्विच्छेदित पारिवारिक संबंधों द्वारा जुड़ा हुआ है। जैसे-जैसे हम समय की गहराई में जाते हैं, चौराहों की संख्या बहुत अधिक हो जाती है।

यह बात समस्त मानवता पर लागू होती है। यदि आप अतीत में गहराई से जाएं, तो आप पृथ्वी पर किन्हीं दो लोगों के सामान्य पूर्वज पा सकते हैं। जब भी कोई नया अमेरिकी राष्ट्रपति चुना जाता है, तो कोई न कोई - आमतौर पर इंग्लैंड में - ब्रिटिश रानी के साथ अपने पारिवारिक संबंधों का पता लगाता है। ऐसा माना जाता है कि यह अंग्रेजी बोलने वालों को एक साथ लाएगा। एक ही लोगों या जातीय समूह के दो प्रतिनिधियों, या काफी अलग-थलग क्षेत्र के मूल निवासियों के लिए, जिनके पास एक प्रलेखित वंशावली है, एक सामान्य पूर्वज ढूंढना कोई समस्या नहीं है। लेकिन भले ही इसके निशान समय की दूरी में खो गए हों, यह निश्चित रूप से मौजूद है। हम सभी रिश्तेदार हैं - बिल्कुल पृथ्वी पर रहने वाले सभी लोग।

उस पारिश्रमिक की गणना जो शाह को वज़ीर को देना चाहिए था

आइए फ़ारसी किंवदंती से गणना करें कि शतरंज की बिसात पर गेहूं के कितने दाने रखने की आवश्यकता है। डरो मत, यह मुश्किल नहीं है!

निम्नलिखित सुरुचिपूर्ण कदम हमें लगभग सटीक परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देगा।

घातांक आपको बताता है कि हमने संख्या 2 को कितनी बार स्वयं से गुणा किया है। 2 2 = 4, 2 4 = 16, 2 10 = 1024, आदि। मान लीजिए एस- बोर्ड पर दानों की कुल संख्या, पहली कोशिका पर एक दाना से लेकर 64वें पर 263 तक। तो फिर जाहिर है:

एस = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 +… + 2 62 + 2 63 .

समीकरण के दोनों पक्षों को दो से गुणा करके, हम इसे इस रूप में लाते हैं:

2 एस = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +… + 2 63 + 2 64 .

आइए पहले समीकरण को दूसरे से घटाएँ:

2 एस – एस = एस = 2 64 – 1.

यह उत्तर है.

इस संख्या के आकार को दर्शाने के लिए, आइए नियमित दशमलव अंकन की ओर आगे बढ़ें। 2 10 लगभग 1000, या 10 3 (2.4% के अंतर के साथ) है। इस प्रकार, 2 20 = 2 (10 × 2) = (2 10) 2 = लगभग (10 3) 2 = 10 6, जो कि 10 को छह बार लिया जाता है, यानी एक मिलियन। इसी प्रकार, 2 60 = (2 10) 6 = लगभग (10 3) 6 = 10 18। फिर 2 64 = 2 4 × 2 60 = लगभग 16 × 10 18, या 16 के बाद अठारह शून्य - 16 क्विंटलियन अनाज। एक सटीक गणना 18.6 क्विंटिलियन देती है।

* * *

ज्यामितीय प्रगति का एक और उल्लेखनीय उदाहरण तथाकथित आधे जीवन की अवधारणा से जुड़ा है। एक रेडियोधर्मी "मूल" तत्व, प्लूटोनियम कहते हैं, एक बेटी तत्व में विघटित हो जाता है, जो आमतौर पर कम खतरनाक होता है। यह कोई तात्कालिक प्रक्रिया नहीं है, यह एक निश्चित नियम के अनुसार समय के साथ घटित होती है। एक निश्चित अवधि के बाद - आधे जीवन - परमाणुओं का आधा भाग क्षय हो जाएगा। शेष विभाजित होते रहेंगे, एक और समान समय अंतराल के बाद, उनमें से आधे भी क्षय हो जाएंगे, आदि। उदाहरण के लिए, एक वर्ष के बराबर आधे जीवन के साथ, परमाणुओं की उपलब्ध संख्या का आधा एक वर्ष में क्षय हो जाएगा, आधा शेष आधे का, या मूल संख्या का एक चौथाई, दो वर्षों में, प्रारंभिक संख्या का आठवां - तीन वर्षों के बाद, एक हजारवां - 10 वर्षों के बाद, आदि। प्रत्येक तत्व का अपना आधा जीवन होता है। परमाणु ऊर्जा संयंत्र से खर्च किए गए ईंधन के भंडारण की समस्या को हल करते समय या परमाणु युद्ध के दौरान किसी क्षेत्र के रेडियोधर्मी संदूषण की गणना करते समय इस संकेतक को ध्यान में रखा जाना चाहिए। यह घातीय कमी का एक उदाहरण है, जो फ़ारसी किंवदंती में दर्शाई गई घातीय वृद्धि के विपरीत है।

अनुवादक नतालिया किचेन्को

संपादक व्याचेस्लाव आयनोव

वैज्ञानिक संपादक व्लादिमीर सर्डिन, पीएच.डी. भौतिक – चटाई. विज्ञान

प्रोजेक्ट मैनेजर मैं. सेरेगिना

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© 1997 डेमोक्रिटस प्रॉपर्टीज़, एलएलसी की अनुमति से द एस्टेट ऑफ़ कार्ल सागन द्वारा।

© रूसी में प्रकाशन, अनुवाद, डिज़ाइन। एल्पिना नॉन-फिक्शन एलएलसी, 2017

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मेरी बहन कारी, छह अरब में से एक

ऐसे लोग हैं जो सोचते हैं कि रेत के कणों की संख्या अनंत है। ...अन्य लोग सोचते हैं कि यद्यपि यह संख्या अनंत नहीं है, फिर भी इससे अधिक की कल्पना करना असंभव है। ...इसके विपरीत, मैं ज्यामितीय परिशुद्धता के साथ यह साबित करने की कोशिश करूंगा कि आपको विश्वास हो जाएगा कि ... रेत के कणों की संख्या से भी अधिक संख्याएं हैं जिन्हें न केवल पृथ्वी के आयतन के बराबर अंतरिक्ष में समाहित किया जा सकता है ... बल्कि पूरी दुनिया भी.

मैं कसम खाता हूँ, मैंने "अरबों और अरबों" वाक्यांश नहीं कहा! उदाहरण के लिए, मैं कह सकता हूँ, "100 अरब आकाशगंगाएँ और 10 अरब खरब तारे।" बड़ी संख्याओं का सहारा लिए बिना अंतरिक्ष का वर्णन करना असंभव है। मैंने टेलीविजन श्रृंखला "कॉसमॉस" के कार्यक्रमों में बार-बार "बिलियन" शब्द का उच्चारण किया, जिसे बड़ी संख्या में दर्शकों ने देखा। लेकिन "अरबों और अरबों" - कभी नहीं। यदि केवल इसलिए कि यह बहुत अस्पष्ट है। "अरबों और अरबों" - वह कितना है? दो या तीन अरब? बीस? एक सौ? प्रसार बहुत व्यापक है. टीवी सीरीज़ का नया संस्करण तैयार करते समय, मैंने हर चीज़ की सावधानीपूर्वक समीक्षा की और सुनिश्चित किया कि मैंने ऐसा कुछ नहीं कहा।

यह वाक्यांश जॉनी कार्सन द्वारा कहा गया था, जिसका अतिथि मैं "द टुनाइट शो" में कम से कम तीन दर्जन बार रहा हूं। वह एक कॉरडरॉय जैकेट और टर्टलनेक पहनता है, अपने बालों को सुलझाता है और, एक तरह से मेरी नकल करते हुए, शाम के टेलीविजन पर "बिलियन्स एंड बिलियन्स" जैसा कुछ लॉन्च करता है। और मैं इस तथ्य से थकने लगा हूं कि यह पैरोडी अपने आप में एक अलग जीवन बना लेती है, ऐसी कहावतें बोलती है जिनसे अगली सुबह मेरे दोस्त और सहकर्मी मुझे आश्चर्यचकित कर देते हैं। (अन्यथा, मैं मानता हूं कि गंभीर शौकिया खगोलशास्त्री कार्सन अक्सर सख्त वैज्ञानिक भाषा में बोलते हैं।)

अफ़सोस, "अरबों और अरबों" अटक गए। लोगों को इसकी आवाज बहुत पसंद आती है. समय-समय पर लोग मुझे सड़क पर, हवाई जहाज़ पर, किसी पार्टी में बुलाते हैं और थोड़ी शर्मिंदगी के साथ मुझसे यह कहने का शिष्टाचार पूछते हैं: "अरबों और अरबों।"

"आप देखिए, ये मेरे शब्द नहीं हैं," मैं समझाता हूँ।

"ठीक है, ठीक है," उन्होंने मुझे उत्तर दिया। - फिर भी मुझे बताओ।

यह पता चलता है कि शर्लक होम्स ने कभी भी "मूल रूप से, वॉटसन" नहीं कहा (कम से कम आर्थर कॉनन डॉयल की किताबों में), जिमी कॉग्नी ने कभी नहीं कहा "तुम गंदे चूहे हो," और हम्फ्री बोगार्ट के चरित्र ने कभी नहीं कहा कि "इसे फिर से खेलो, सैम।" लेकिन ये वाक्यांश लोकप्रिय संस्कृति में इस तरह रच-बस गए हैं कि इन्हें वास्तव में कहा गया माना जाता है।

इसलिए कंप्यूटर पत्रिकाओं में अरबों के बारे में इतनी असफल अभिव्यक्ति का श्रेय अभी भी मुझे दिया जाता है ("कार्ल सागन कहेंगे कि इसमें अरबों और अरबों बाइट्स लगते हैं"), अखबारों के पन्नों पर आर्थिक समीक्षाओं में, वेतन के बारे में कहानियों में खेल सितारे, आदि। डी।

अतीत में, मैंने इसे कभी भी, मौखिक या लिखित रूप से, नुकसान की दृष्टि से नहीं दोहराया होगा। लेकिन अब मैं इससे आगे निकल चुका हूं. और यदि यह कहानी के लिए आवश्यक है, तो कृपया:

– अरबों और अरबों!

यह मुहावरा इतना लोकप्रिय क्यों हो गया है? एक समय बड़ी संख्या का प्रतीक "मिलियन" था। अति धनवान करोड़पति थे। यीशु के समय पृथ्वी की जनसंख्या लगभग 250 मिलियन थी। 1787 के कन्वेंशन ने चार मिलियन अमेरिकियों को संविधान दिया; द्वितीय विश्व युद्ध की शुरुआत तक हममें से 132 मिलियन लोग पृथ्वी से सूर्य तक 150 मिलियन कि.मी. दूर थे। प्रथम विश्व युद्ध में लगभग 40 मिलियन लोग मारे गए, और द्वितीय विश्व युद्ध में 60 मिलियन लोग मारे गए, एक वर्ष में 31.7 मिलियन सेकंड होते हैं (आप इसकी जांच कर सकते हैं)। 1980 के दशक के अंत तक एकत्रित परमाणु शस्त्रागार की संयुक्त शक्ति दस लाख हिरोशिमा को नष्ट करने के लिए पर्याप्त होगी। लंबे समय तक, ज्यादातर मामलों में, "मिलियन" शब्द का अनिवार्य रूप से मतलब "अविश्वसनीय रूप से कई" होता था।

लेकिन समय बदल गया है. आजकल दुनिया में एक परत छाई हुई है अरबपतियों, और बिल्कुल नहीं क्योंकि पैसे का मूल्यह्रास हो गया है। पृथ्वी की आयु सामान्यतः 4.6 अरब वर्ष मानी जाती है। जनसंख्या 6 अरब से अधिक हो गई है। आपके दोनों जन्मदिनों में एक वर्ष और एक अरब किलोमीटर का अंतर है (पृथ्वी अंतरिक्ष में प्रक्षेपित किए गए वोयाजर्स की तुलना में सूर्य के चारों ओर बहुत तेजी से घूमती है)। चार बी-2 बमवर्षकों की कीमत एक अरब डॉलर (अन्य अनुमानों के अनुसार, दो या चार अरब) है। सभी छिपी हुई लागतों को ध्यान में रखते हुए, वार्षिक अमेरिकी रक्षा बजट $300 बिलियन से अधिक है। अमेरिका और रूस के बीच पूर्ण पैमाने पर परमाणु युद्ध की स्थिति में, लगभग एक अरब लोग तुरंत मर जाएंगे। कुछ सेंटीमीटर पदार्थ एक अरब परमाणुओं की श्रृंखला है। तारे और आकाशगंगाएँ भी कई अरबों की संख्या में हैं।

1980 में, जब टेलीविजन श्रृंखला "कॉसमॉस" का प्रसारण शुरू हुआ, तो लोग अरबों में गिनने के लिए तैयार थे। लाखों अब पर्याप्त नहीं थे; वे कल्पना पर प्रहार नहीं करते थे। इस बीच, ये दोनों शब्द समान लगते हैं, इन्हें भ्रमित करना आसान है। इसलिए, "कॉसमॉस" के प्रसारण पर मैंने "बिलियन" का उच्चारण इतनी ज़ोरदार अभिव्यक्ति के साथ किया कि कई दर्शकों ने इसे एक उच्चारण या भाषण बाधा माना।

मुझे एक पुराना चुटकुला याद आ गया. एक तारामंडल व्याख्याता आगंतुकों को बताता है कि 5 अरब वर्षों में, सूर्य एक लाल दानव बन जाएगा और बुध और शुक्र और अंततः, शायद, पृथ्वी को निगल जाएगा। व्याख्यान के बाद, एक चिंतित श्रोता उसे पकड़ लेता है:

- क्षमा करें, तुमने क्या कहा? क्या पाँच अरब वर्षों में सूर्य पृथ्वी को जला देगा?

- हाँ, लगभग।

- भगवान भला करे! मुझे लगा कि मैंने "पाँच मिलियन" सुना है।

चाहे पाँच मिलियन या पाँच अरब वर्षों में, पृथ्वी का भावी विनाश हमारे लिए विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक रुचि का विषय है। लेकिन जब सरकारी बजट, दुनिया की आबादी या परमाणु युद्ध के पीड़ितों की संख्या की बात आती है, तो इन मूल्यों के बीच अंतर बहुत महत्वपूर्ण है।

"अरबों और अरबों" वाक्यांश ने अभी तक अपनी लोकप्रियता नहीं खोई है, लेकिन इसका दायरा भी कम है। बड़ी संख्याओं का एक नया मानक निकट ही है - खरब.

वैश्विक सैन्य खर्च पहले से ही प्रति वर्ष 1 ट्रिलियन डॉलर तक पहुंच गया है। विकासशील देशों का पश्चिमी बैंकों पर कुल ऋण 2 ट्रिलियन डॉलर (1970 में 60 बिलियन डॉलर की तुलना में) के करीब पहुंच रहा है। अमेरिकी सरकार का सालाना बजट भी 2 ट्रिलियन डॉलर के करीब है। राष्ट्रीय ऋण लगभग 5 ट्रिलियन डॉलर है। तकनीकी रूप से संदिग्ध रीगन-युग के उपक्रम, स्ट्रैटेजिक डिफेंस इनिशिएटिव की लागत $ 1 ट्रिलियन से $ 2 ट्रिलियन तक अनुमानित की गई थी। पृथ्वी पर सभी पौधों का वजन एक ट्रिलियन टन है। अंतरिक्ष के पैमाने पर वस्तुतः हर चीज़ खरबों में मापी जाती है। सौर मंडल से निकटतम तारे, अल्फा सेंटॉरी तक, लगभग 40 ट्रिलियन किमी है।

अनुवादक नतालिया किचेन्को

संपादक व्याचेस्लाव आयनोव

वैज्ञानिक संपादक व्लादिमीर सर्डिन, पीएच.डी. भौतिक – चटाई. विज्ञान

प्रोजेक्ट मैनेजर मैं. सेरेगिना

प्रूफ़रीडर एम. मिलोविडोवा, ई. अक्सेनोवा

कंप्यूटर लेआउट ए फोमिनोव

कवर डिजाइनर यू. बुगा

© 1997 डेमोक्रिटस प्रॉपर्टीज़, एलएलसी की अनुमति से द एस्टेट ऑफ़ कार्ल सागन द्वारा।

© रूसी में प्रकाशन, अनुवाद, डिज़ाइन। एल्पिना नॉन-फिक्शन एलएलसी, 2017

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मेरी बहन कारी, छह अरब में से एक

भाग I
संख्याओं की स्पष्टता और सुंदरता

अध्याय 1
अरबों और अरबों

ऐसे लोग हैं जो सोचते हैं कि रेत के कणों की संख्या अनंत है। ...अन्य लोग सोचते हैं कि यद्यपि यह संख्या अनंत नहीं है, फिर भी इससे अधिक की कल्पना करना असंभव है। ...इसके विपरीत, मैं ज्यामितीय परिशुद्धता के साथ यह साबित करने की कोशिश करूंगा कि आपको विश्वास हो जाएगा कि ... रेत के कणों की संख्या से भी अधिक संख्याएं हैं जिन्हें न केवल पृथ्वी के आयतन के बराबर अंतरिक्ष में समाहित किया जा सकता है ... बल्कि पूरी दुनिया भी.

- आर्किमिडीज़ (लगभग 287-212 ईसा पूर्व)। रेत के कणों की गणना

मैं कसम खाता हूँ, मैंने "अरबों और अरबों" वाक्यांश नहीं कहा! उदाहरण के लिए, मैं कह सकता हूँ, "100 अरब आकाशगंगाएँ और 10 अरब खरब तारे।" बड़ी संख्याओं का सहारा लिए बिना अंतरिक्ष का वर्णन करना असंभव है। मैंने टेलीविजन श्रृंखला "कॉसमॉस" के कार्यक्रमों में बार-बार "बिलियन" शब्द का उच्चारण किया, जिसे बड़ी संख्या में दर्शकों ने देखा। लेकिन "अरबों और अरबों" - कभी नहीं। यदि केवल इसलिए कि यह बहुत अस्पष्ट है। "अरबों और अरबों" - वह कितना है? दो या तीन अरब? बीस? एक सौ? प्रसार बहुत व्यापक है. टीवी सीरीज़ का नया संस्करण तैयार करते समय, मैंने हर चीज़ की सावधानीपूर्वक समीक्षा की और सुनिश्चित किया कि मैंने ऐसा कुछ नहीं कहा।

यह वाक्यांश जॉनी कार्सन द्वारा कहा गया था, जिसका अतिथि मैं "द टुनाइट शो" में कम से कम तीन दर्जन बार रहा हूं। वह एक कॉरडरॉय जैकेट और टर्टलनेक पहनता है, अपने बालों को सुलझाता है और, एक तरह से मेरी नकल करते हुए, शाम के टेलीविजन पर "बिलियन्स एंड बिलियन्स" जैसा कुछ लॉन्च करता है। और मैं इस तथ्य से थकने लगा हूं कि यह पैरोडी अपने आप में एक अलग जीवन बना लेती है, ऐसी कहावतें बोलती है जिनसे अगली सुबह मेरे दोस्त और सहकर्मी मुझे आश्चर्यचकित कर देते हैं। (अन्यथा, मैं मानता हूं कि गंभीर शौकिया खगोलशास्त्री कार्सन अक्सर सख्त वैज्ञानिक भाषा में बोलते हैं।)

अफ़सोस, "अरबों और अरबों" अटक गए। लोगों को इसकी आवाज बहुत पसंद आती है. समय-समय पर लोग मुझे सड़क पर, हवाई जहाज़ पर, किसी पार्टी में बुलाते हैं और थोड़ी शर्मिंदगी के साथ मुझसे यह कहने का शिष्टाचार पूछते हैं: "अरबों और अरबों।"

"आप देखिए, ये मेरे शब्द नहीं हैं," मैं समझाता हूँ।

"ठीक है, ठीक है," उन्होंने मुझे उत्तर दिया। - फिर भी मुझे बताओ।

यह पता चलता है कि शर्लक होम्स ने कभी भी "मूल रूप से, वॉटसन" नहीं कहा (कम से कम आर्थर कॉनन डॉयल की किताबों में), जिमी कॉग्नी ने कभी नहीं कहा "तुम गंदे चूहे हो," और हम्फ्री बोगार्ट के चरित्र ने कभी नहीं कहा कि "इसे फिर से खेलो, सैम।" लेकिन ये वाक्यांश लोकप्रिय संस्कृति में इस तरह रच-बस गए हैं कि इन्हें वास्तव में कहा गया माना जाता है।

इसलिए कंप्यूटर पत्रिकाओं में अरबों के बारे में इतनी असफल अभिव्यक्ति का श्रेय अभी भी मुझे दिया जाता है ("कार्ल सागन कहेंगे कि इसमें अरबों और अरबों बाइट्स लगते हैं"), अखबारों के पन्नों पर आर्थिक समीक्षाओं में, वेतन के बारे में कहानियों में खेल सितारे, आदि। डी।

अतीत में, मैंने इसे कभी भी, मौखिक या लिखित रूप से, नुकसान की दृष्टि से नहीं दोहराया होगा। लेकिन अब मैं इससे आगे निकल चुका हूं. और यदि यह कहानी के लिए आवश्यक है, तो कृपया:

– अरबों और अरबों!

यह मुहावरा इतना लोकप्रिय क्यों हो गया है? एक समय बड़ी संख्या का प्रतीक "मिलियन" था। अति धनवान करोड़पति थे। यीशु के समय पृथ्वी की जनसंख्या लगभग 250 मिलियन थी। 1787 के कन्वेंशन ने चार मिलियन अमेरिकियों को संविधान दिया; द्वितीय विश्व युद्ध की शुरुआत तक हममें से 132 मिलियन लोग पृथ्वी से सूर्य तक 150 मिलियन कि.मी. दूर थे। प्रथम विश्व युद्ध में लगभग 40 मिलियन लोग मारे गए, और द्वितीय विश्व युद्ध में 60 मिलियन लोग मारे गए, एक वर्ष में 31.7 मिलियन सेकंड होते हैं (आप इसकी जांच कर सकते हैं)। 1980 के दशक के अंत तक एकत्रित परमाणु शस्त्रागार की संयुक्त शक्ति दस लाख हिरोशिमा को नष्ट करने के लिए पर्याप्त होगी। लंबे समय तक, ज्यादातर मामलों में, "मिलियन" शब्द का अनिवार्य रूप से मतलब "अविश्वसनीय रूप से कई" होता था।

लेकिन समय बदल गया है. आजकल दुनिया में एक परत छाई हुई है अरबपतियों, और बिल्कुल नहीं क्योंकि पैसे का मूल्यह्रास हो गया है। पृथ्वी की आयु सामान्यतः 4.6 अरब वर्ष मानी जाती है। जनसंख्या 6 अरब से अधिक हो गई है। आपके दोनों जन्मदिनों में एक वर्ष और एक अरब किलोमीटर का अंतर है (पृथ्वी अंतरिक्ष में प्रक्षेपित किए गए वोयाजर्स की तुलना में सूर्य के चारों ओर बहुत तेजी से घूमती है)। चार बी-2 बमवर्षकों की कीमत एक अरब डॉलर (अन्य अनुमानों के अनुसार, दो या चार अरब) है। सभी छिपी हुई लागतों को ध्यान में रखते हुए, वार्षिक अमेरिकी रक्षा बजट $300 बिलियन से अधिक है। अमेरिका और रूस के बीच पूर्ण पैमाने पर परमाणु युद्ध की स्थिति में, लगभग एक अरब लोग तुरंत मर जाएंगे। कुछ सेंटीमीटर पदार्थ एक अरब परमाणुओं की श्रृंखला है। तारे और आकाशगंगाएँ भी कई अरबों की संख्या में हैं।

1980 में, जब टेलीविजन श्रृंखला "कॉसमॉस" का प्रसारण शुरू हुआ, तो लोग अरबों में गिनने के लिए तैयार थे। लाखों अब पर्याप्त नहीं थे; वे कल्पना पर प्रहार नहीं करते थे। इस बीच, ये दोनों शब्द समान लगते हैं, इन्हें भ्रमित करना आसान है। इसलिए, "कॉसमॉस" के प्रसारण पर मैंने "बिलियन" का उच्चारण इतनी ज़ोरदार अभिव्यक्ति के साथ किया कि कई दर्शकों ने इसे एक उच्चारण या भाषण बाधा माना।

मुझे एक पुराना चुटकुला याद आ गया. एक तारामंडल व्याख्याता आगंतुकों को बताता है कि 5 अरब वर्षों में, सूर्य एक लाल दानव बन जाएगा और बुध और शुक्र और अंततः, शायद, पृथ्वी को निगल जाएगा। व्याख्यान के बाद, एक चिंतित श्रोता उसे पकड़ लेता है:

- क्षमा करें, तुमने क्या कहा? क्या पाँच अरब वर्षों में सूर्य पृथ्वी को जला देगा?

- हाँ, लगभग।

- भगवान भला करे! मुझे लगा कि मैंने "पाँच मिलियन" सुना है।

चाहे पाँच मिलियन या पाँच अरब वर्षों में, पृथ्वी का भावी विनाश हमारे लिए विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक रुचि का विषय है। लेकिन जब सरकारी बजट, दुनिया की आबादी या परमाणु युद्ध के पीड़ितों की संख्या की बात आती है, तो इन मूल्यों के बीच अंतर बहुत महत्वपूर्ण है।

"अरबों और अरबों" वाक्यांश ने अभी तक अपनी लोकप्रियता नहीं खोई है, लेकिन इसका दायरा भी कम है। बड़ी संख्याओं का एक नया मानक निकट ही है - खरब.

वैश्विक सैन्य खर्च पहले से ही प्रति वर्ष 1 ट्रिलियन डॉलर तक पहुंच गया है। विकासशील देशों का पश्चिमी बैंकों पर कुल ऋण 2 ट्रिलियन डॉलर (1970 में 60 बिलियन डॉलर की तुलना में) के करीब पहुंच रहा है। अमेरिकी सरकार का सालाना बजट भी 2 ट्रिलियन डॉलर के करीब है। राष्ट्रीय ऋण लगभग 5 ट्रिलियन डॉलर है। तकनीकी रूप से संदिग्ध रीगन-युग के उपक्रम, स्ट्रैटेजिक डिफेंस इनिशिएटिव की लागत $ 1 ट्रिलियन से $ 2 ट्रिलियन तक अनुमानित की गई थी। पृथ्वी पर सभी पौधों का वजन एक ट्रिलियन टन है। अंतरिक्ष के पैमाने पर वस्तुतः हर चीज़ खरबों में मापी जाती है। सौर मंडल से निकटतम तारे, अल्फा सेंटॉरी तक, लगभग 40 ट्रिलियन किमी है।

रोजमर्रा की जिंदगी में, लोग परंपरागत रूप से लाखों, अरबों और खरबों को भ्रमित करते हैं, और टेलीविजन समाचारों में समान त्रुटि के बिना शायद ही कोई सप्ताह गुजरता है (अक्सर दस लाख और एक अरब "पीड़ित") होते हैं। इसलिए, मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं: एक मिलियन (अंग्रेजी में मिलियन) एक हजार हज़ार होता है, या एक के बाद छह शून्य होते हैं; बिलियन (अरब) - एक हजार मिलियन, एक के बाद नौ शून्य; ट्रिलियन (खरब) - एक हजार अरब (या, यह वही बात है, दस लाख लाखों), जिसे एक इकाई के रूप में लिखा जाता है और उसके बाद 12 शून्य होते हैं।

अमेरिका में ऐसा ही किया जाता है. ब्रिटिश अंग्रेजी में लंबे समय तक, बिलियन शब्द उस संख्या को दर्शाता था जिसे अमेरिका में ट्रिलियन कहा जाता है, और अमेरिकी बिलियन को, बिल्कुल सही, ब्रिटिश द्वारा "एक हजार मिलियन" कहा जाता था। यूरोप में एक अरब को मिलियार्ड शब्द से दर्शाया जाता था। मैं बचपन से ही डाक टिकटों का संग्रह करता आ रहा हूँ, और मेरे पास 1923 में जर्मनी में, जब मुद्रास्फीति चरम पर थी, जारी किया गया एक बिना रद्द किया गया डाक टिकट है, जिस पर लिखा था "50 बिलियन"। पत्र भेजने में 50 ट्रिलियन जर्मन मार्क खर्च हुए। (उन दिनों, आप नकदी से भरा ठेला लेकर बेकरी या किराने की दुकान पर जाते थे।) आजकल, दुनिया पर संयुक्त राज्य अमेरिका के महान प्रभाव के कारण, मिलियर्ड शब्द कई देशों में उपयोग से बाहर हो गया है।

यह समझने का सबसे विश्वसनीय तरीका कि हम किस संख्या के बारे में बात कर रहे हैं, बहुत सरल है - एक के बाद शून्य गिनें। सच है, यदि बहुत सारे शून्य हैं, तो यह एक बेकार बात है। इसलिए, लिखते समय तीन शून्यों के समूहों को अल्पविराम या रिक्त स्थान से अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक ट्रिलियन 1,000,000,000,000 या 1,000,000,000,000 जैसा दिखता है (यूरोप में, अल्पविराम के बजाय बिंदुओं का उपयोग किया जाता है।) जब ट्रिलियन से बड़ी संख्याओं का सामना करना पड़ता है, तो आपको हर बार गिनना चाहिए कि उनमें कितनी बार तीन शून्य हैं। किसी संख्या का नामकरण करते समय तुरंत यह बताना अधिक सुविधाजनक होगा कि एक के बाद कितने शून्य हैं।

वैज्ञानिक और गणितज्ञ, व्यावहारिक लोग, बस यही करते हैं - वे तथाकथित घातीय संकेतन का उपयोग करते हैं। संख्या दस लिखी गई है, जिसमें ऊपर दाईं ओर छोटे प्रिंट में एक संकेतक जोड़ा गया है - एक के बाद वर्णों की संख्या के अनुरूप एक संख्या। इस प्रकार, 10 6 = 1,000,000, 10 9 = 1,000,000,000, 10 12 = 1,000,000,000,000, आदि। इस घातांक को किसी संख्या का घातांक, घात या क्रम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 10 9 को "दस से नौवीं घात" के रूप में पढ़ा जाता है (अपवाद 10 2 और 10 3 हैं, जिन्हें आमतौर पर "दस वर्ग" और "दस घन" कहा जाता है)। शक्ति या व्यवस्था की अवधारणा - विज्ञान और गणित के कुछ अन्य शब्दों, जैसे "पैरामीटर" के साथ - रोजमर्रा की भाषा में अपनी जगह बना रही है, लेकिन इसका अर्थ तेजी से धुंधला होता जा रहा है।

अपनी स्पष्टता के अलावा, घातीय अंकन में किन्हीं दो संख्याओं को केवल उनकी घातें जोड़कर गुणा करने में सक्षम होने का अद्भुत अतिरिक्त लाभ है। मान लीजिए 1000 × 1,000,000,000 = 10 3 × 10 9 = 10 12। या आइए बड़ी संख्याएँ लें: औसत आकाशगंगा में 10 11 तारे हैं, स्वयं आकाशगंगाएँ भी 10 11 हैं, इसलिए, अंतरिक्ष में लगभग 10 22 तारे हैं।

फिर भी, घातीय संकेतन को उन लोगों द्वारा शत्रुता का सामना करना पड़ता है जो गणित में अच्छे नहीं हैं (हालांकि, इसके विपरीत, इसे समझना आसान है), और टाइपसेटर्स जो उन्हें रोटी नहीं खिलाते हैं - उन्हें 10 9 के बजाय 109 टाइप करने दें (कर्मचारी रैंडम हाउस पब्लिशिंग हाउस, जैसा कि आप देख सकते हैं, एक सुखद अपवाद हैं)।

पहली छह बड़ी संख्याएँ, जिनके नाम हैं, नीचे बॉक्स में दी गई हैं। प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से 1000 गुना बड़ी है। एक ट्रिलियन से बड़ी संख्याओं के नाम व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किए जाते हैं। यदि आप चौबीसों घंटे बिना रुके गिनती करें, प्रति सेकंड एक जोड़कर, तो दस लाख तक गिनती करने में एक सप्ताह से अधिक समय लगेगा। एक अरब आपकी आधी जिंदगी ले लेगा। आप क्विंटिलियन तक नहीं पहुंच पाएंगे, भले ही आप तब तक जीवित रहें जब तक ब्रह्मांड मौजूद है।

एक बार जब आप घातीय अंकन में महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप आसानी से बड़ी संख्याओं का सामना कर सकते हैं, जैसे कि एक चम्मच मिट्टी में सूक्ष्मजीवों की अनुमानित संख्या (10 8), पृथ्वी के सभी समुद्र तटों पर रेत के कण (लगभग 10 20), जीवित हमारे ग्रह पर जीव (10 29), पृथ्वी पर सारा जीवन (10 41), सूर्य में परमाणु नाभिक (10 57) या पूरे अंतरिक्ष में प्राथमिक कण (इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन) (10 80)। तुम अब भी नहीं कर पाओगे परिचय देनाएक अरब या क्विंटिलियन वस्तुएँ - और कोई नहीं कर सकता। लेकिन घातीय अंकन के लिए धन्यवाद, हम सक्षम हैं प्रचालनसमान मान और गणना में उनका उपयोग करें। स्व-सिखाए गए लोगों के लिए बुरा नहीं है जो इस दुनिया में कुछ भी नहीं लेकर आए थे और अपने साथी आदिवासियों को उंगलियों और पैर की उंगलियों पर गिनते थे!

इससे भी बड़ी संख्याओं के नाम हैं सेक्स्टिलियन (10 21), सेप्टिलियन (10 24), ऑक्टिलियन (10 27), नॉनिलियन (10 30) और डेसिलियन (10 33)। पृथ्वी का द्रव्यमान 6 ऑक्टिलियन ग्राम है।

विज्ञान में स्वीकृत घातांकीय संकेतन के अलावा, प्रत्येक संख्या को उपसर्गों का उपयोग करके शब्दों में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रॉन के पार एक फेम्टोमीटर (10-15 मीटर) होता है, पीली रोशनी की तरंग दैर्ध्य आधा माइक्रोमीटर (0.5 माइक्रोमीटर) होती है, मानव आंख एक मिलीमीटर के दसवें हिस्से (10-4 मीटर) के आकार के कीट को पहचान सकती है ), पृथ्वी की त्रिज्या 6300 किमी (6.3 मेगामीटर) है, एक औसत पर्वत का वजन 100 पेटाग्राम (10 17 ग्राम) है। यहां सभी संभावित उपसर्ग और उनके अर्थ दिए गए हैं:

वास्तव में बड़ी संख्याएँ आधुनिक विज्ञान का जीवन और रक्त हैं, लेकिन किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि यह एक आधुनिक आविष्कार है।

भारत में, अंकगणित ने लंबे समय से विशाल संख्याओं पर महारत हासिल कर ली है। भारतीय अखबारों में अक्सर लाखों या करोड़ों रुपए के खर्च के बारे में पढ़ने को मिलता है। प्रणाली इस प्रकार है: दास - 10, सं - 100, हजार - 1000, लाख - 10 5, करोड़ - 10 7, अरब - 10 9, करब - 10 11, नी - 10 13, पदम - 10 15 और शंख - 10 17. आधुनिक मेक्सिको के क्षेत्र में रहने वाले माया भारतीयों ने, जिनकी सभ्यता यूरोप से आए नवागंतुकों द्वारा नष्ट कर दी गई थी, एक कैलेंडर संकलित किया, जिसकी लंबाई यूरोपीय लोगों के अनुसार, इसके निर्माण के बाद से गुजरे कुछ हजार वर्षों की तुलना में बहुत कम है। दुनिया। मैक्सिकन राज्य क्विंटाना रू में कोबा शहर के खंडहरों के बीच, शिलालेखों की खोज की गई थी, जिसके अनुसार मायाओं ने ब्रह्मांड की आयु लगभग 10 29 वर्ष आंकी थी। हिंदुओं का मानना ​​था कि ब्रह्मांड का वर्तमान अवतार 8.6 × 10 9 वर्ष पुराना है - और वे लगभग सही थे। और गणितज्ञ आर्किमिडीज़, जो तीसरी शताब्दी में सिसिली में रहते थे। ईसा पूर्व ई., ने अपनी पुस्तक "कैलकुलस ऑफ ग्रेन्स ऑफ सैंड" में गणना की कि पूरे स्थान को भरने के लिए रेत के 10 63 कणों की आवश्यकता होती है। उन दिनों भी, वास्तव में बड़े पैमाने की समस्याओं को हल करने के लिए अरबों-खरबों डॉलर स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं थे।

अध्याय दो
फ़ारसी शतरंज

विश्लेषणात्मक समीकरणों से अधिक व्यापक, और सरल, त्रुटियों और अस्पष्टताओं से मुक्त, यानी वास्तविक दुनिया के अपरिवर्तनीय संबंधों को व्यक्त करने के लिए अधिक योग्य कोई भाषा नहीं हो सकती... गणितीय विश्लेषण, मानव मस्तिष्क की एक क्षमता होने के नाते, बनाता है हमारे जीवन की संक्षिप्तता और हमारी भावनाओं की अपूर्णता के लिए।

- जीन बैप्टिस्ट जोसेफ फूरियर। ऊष्मा का विश्लेषणात्मक सिद्धांत (1822)

जिस संस्करण के बारे में मैं जानता हूँ, उसमें यह कहानी प्राचीन फारस में घटित हुई थी, हालाँकि यह भारत और यहाँ तक कि चीन में भी घटित हो सकती थी। किसी भी मामले में, यह बहुत समय पहले की बात है। शासक के मुख्य सलाहकार, ग्रैंड विज़ियर ने एक नए खेल का आविष्कार किया जिसमें लाल और काले रंग के 64 वर्गों से पंक्तिबद्ध एक वर्गाकार बोर्ड पर टुकड़ों को घुमाना आवश्यक था। सबसे महत्वपूर्ण व्यक्ति शासक था, अगला सबसे महत्वपूर्ण व्यक्ति वज़ीर था, जैसा कि आविष्कारक के व्यक्तित्व को देखते हुए, कोई उम्मीद कर सकता था। खिलाड़ी का लक्ष्य दुश्मन के मुख्य टुकड़े को नष्ट करना था, और फ़ारसी भाषा में संबंधित शब्दों (चेक - शासक, चेकमेट - मौत) के अनुसार, खेल को "शतरंज" कहा जाता था। वस्तुतः, "शासक की मृत्यु।" रूसी भाषा में इस खेल को आज भी वही कहा जाता है, जो जाहिर तौर पर रूसी लोगों की विशेष क्रांतिकारी भावना को दर्शाता है। समय बीतता गया, मोहरे, उनकी चालें और खेल के नियम बदल गये। इस प्रकार, वज़ीर का स्थान अब रानी ने ले लिया है, जिसके पास अतुलनीय रूप से अधिक क्षमताएं हैं।

शाह को "किल द रूलर" खेल कैसे पसंद आया होगा यह एक रहस्य है। हालाँकि, किंवदंती कहती है, शाह नए मनोरंजन से इतने प्रसन्न हुए कि उन्होंने ग्रैंड वज़ीर को खुद के लिए पुरस्कार नियुक्त करने के लिए आमंत्रित किया। इस प्रस्ताव से उन्हें कोई आश्चर्य नहीं हुआ। वज़ीर ने उत्तर दिया कि वह एक विनम्र व्यक्ति था और उसका अनुरोध सबसे विनम्र होगा। यहां आठ स्तंभों और आठ पंक्तियों में एक गेम बोर्ड बिछाया गया है। पहली कोठरी में गेहूँ का केवल एक दाना रखा जाए, दूसरी पर उसका दोगुना और तीसरी पर उसका दोगुना। अधिकदोगुनी संख्या में और इसी तरह जब तक सभी कोशिकाएँ भर न जाएँ। शाह ने विरोध किया. इतने अद्भुत आविष्कार के लिए इतनी कम कीमत चुकानी पड़ी! उसने आभूषण, सुन्दरताएँ, महल अर्पित किये। लेकिन ऋषि ने विनम्रतापूर्वक अपना सिर नीचे करते हुए किसी भी उपहार को अस्वीकार कर दिया। उसे बस थोड़े से गेहूं की जरूरत है। और शासक, गुप्त रूप से अपने सलाहकार की स्पष्टता और जिद के बारे में शिकायत करते हुए सहमत हो गया।

हालाँकि, जब शाही अन्न भंडार के रखवाले ने अनाज गिनना शुरू किया, तो एक अप्रिय आश्चर्य सामने आया। यह सब छोटे से शुरू हुआ: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024... लेकिन आगे, संख्याएँ अधिक राक्षसी, अकल्पनीय रूप से बड़ी हो गईं। अंतिम, 64वाँ सेल लगभग 18.5 क्विंटिलियन से मेल खाता है (नीचे साइडबार देखें)। ग्रैंड विज़ियर संभवतः उच्च फाइबर आहार पर था।

18.5 क्विंटल गेहूं के दानों का वजन कितना होता है? यदि हम प्रत्येक दाने का आकार एक मिलीमीटर के बराबर मानें, तो उनका कुल वजन लगभग 75 बिलियन टन होगा - किसी भी शाह के भंडार से कहीं अधिक। कड़ाई से कहें तो, यह 150 वर्षों की फसल है आधुनिकउत्पादन की मात्रा. आगे जो कुछ है वह समय के अँधेरे में खो गया है। क्या शाह ने अंकगणित की उपेक्षा के लिए खुद को दोषी ठहराते हुए अपनी शक्ति ऋषि को सौंप दी, या नया खेल "विजीमत" खेलना पसंद किया, यह अज्ञात रहा।

शायद फ़ारसी शतरंज के आविष्कार की कहानी सिर्फ एक परी कथा है। लेकिन प्राचीन फारसियों और भारतीयों ने वास्तव में गणित में कई शानदार खोजें कीं और वे लगातार दोगुने होने वाले परिणामों से अच्छी तरह परिचित थे। यदि शतरंज का खेल सौ वर्गों (10 × 10) वाले बोर्ड पर खेला जाता है, तो चेकर को पृथ्वी के वजन के बराबर कुल वजन के साथ वज़ीर गेहूं का भुगतान करना होगा। एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें प्रत्येक आगामी संख्या पिछली संख्या को एक निश्चित मान से गुणा करने का परिणाम होती है, ज्यामितीय प्रगति कहलाती है, और कुल को बढ़ाने की संबंधित प्रक्रिया को घातांकीय वृद्धि कहा जाता है।

ज्यामितीय प्रगति जीवन के सभी महत्वपूर्ण क्षेत्रों, सामान्य और विदेशी, में पाई जाती है। आइए उदाहरण के तौर पर चक्रवृद्धि ब्याज लें। यदि आपके पूर्वज ने 200 साल पहले, क्रांतिकारी युद्ध के तुरंत बाद, 5% ब्याज पर बैंक में 10 डॉलर जमा किए थे, तो खाते में पहले से ही $10 x 1.05,200, या $172,925.81 होंगे। (यह जानने के लिए कि 1.05 200 कितना है, आपको बस संख्या 1.05 को 200 बार गुणा करना होगा।) यह अफ़सोस की बात है कि कुछ पूर्वज दूर के वंशजों की भलाई के बारे में इतनी परवाह करते हैं, और $10 - एक बड़ी राशि उन दिनों - ऐसा नहीं मिलता कि हर किसी के पास होता है। यदि आपके उदार पूर्वज ने 6% प्रति वर्ष की दर से जमा राशि रखी है, तो आपको एक मिलियन से अधिक विरासत में मिलेगी, 7% पर - $7.5 मिलियन से अधिक - एक शानदार 10% प्रति वर्ष आपको एक अच्छी रकम मिलेगी - $1.9 बिलियन।

मुद्रास्फीति इसी प्रकार काम करती है। प्रति वर्ष 5% की मुद्रास्फीति दर पर, एक वर्ष में एक डॉलर की कीमत $0.95 होगी, दो वर्षों में (0.95)² = $0.91, 10 वर्षों में इसका "वजन कम होकर $0.61 हो जाएगा", 20 में - $0.37, आदि। यह सबसे सीधे तौर पर पेंशनभोगियों से संबंधित है, जिनका वार्षिक भुगतान निश्चित है और मुद्रास्फीति के लिए अनुक्रमित नहीं है।

बार-बार दोगुना होना और इसलिए, घातीय वृद्धि जैविक जीवों के प्रजनन की एक विशिष्ट विशेषता है। आइए एक सरल उदाहरण से शुरू करें - एक जीवाणु जो विभाजन द्वारा प्रजनन करता है। आवश्यक समय के बाद, दोनों पुत्री जीवाणुओं में से प्रत्येक भी दो में विभाजित हो जाता है। पर्याप्त मात्रा में भोजन और आवास में जहरों की अनुपस्थिति के साथ, बैक्टीरिया की कॉलोनी तेजी से बढ़ती है। सबसे अनुकूल परिस्थितियों में, उनकी संख्या लगभग हर 15 मिनट में दोगुनी हो जाती है: प्रति घंटे चार दोगुनी, प्रति दिन 96। एक जीवाणु का वजन एक ग्राम के लगभग एक खरबवें हिस्से का होता है, लेकिन बेलगाम प्रजनन के एक दिन में ही उसके वंशजों का वजन एक पहाड़ के बराबर हो जाएगा, लगभग डेढ़ दिन में - पृथ्वी के बराबर, और दो दिनों में वे सूर्य से अधिक वजन के हो जाएंगे। ...थोड़ा और समय बीत जाएगा, और पूरा ब्रह्मांड बैक्टीरिया से भर जाएगा। संभावनाएँ बहुत उज्ज्वल नहीं हैं, लेकिन, सौभाग्य से, अवास्तविक हैं। क्यों? क्योंकि ऐसी घातीय वृद्धि अनिवार्य रूप से किसी न किसी प्राकृतिक बाधा से टकराती है। उदाहरण के लिए, कीड़े सारा भोजन खा जाते हैं, एक-दूसरे को जहर दे देते हैं, या बहुत अधिक होने पर संभोग करना बंद कर देते हैं। घातीय वृद्धि हमेशा के लिए जारी नहीं रह सकती है, अन्यथा यह सब कुछ खा जाएगी, लेकिन उससे बहुत पहले, एक सीमित कारक खेल में आता है। घातीय वक्र एक पठार तक पहुँचता है (चित्र देखें)।

एड्स महामारी के मद्देनजर यह सुविधा बहुत महत्वपूर्ण है। आजकल कई देशों में इस बीमारी के लक्षण वाले लोगों की संख्या तेजी से बढ़ रही है, हर साल दोगुनी हो रही है। इसका मतलब यह है कि हर साल पिछले साल की तुलना में एड्स वायरस के दोगुने वाहक होते हैं। एड्स से पहले ही जानमाल का भारी नुकसान हो चुका है। यदि महामारी का तेजी से प्रसार जारी रहा, तो मानवता को एक अभूतपूर्व तबाही का सामना करना पड़ेगा। 10 वर्षों में, मामलों की संख्या एक हजार गुना बढ़ जाएगी, और 20 वर्षों में - एक मिलियन। रोगियों की वर्तमान संख्या को दस लाख से गुणा करने पर, हमें एक परिणाम मिलता है जो पृथ्वी की जनसंख्या से कहीं अधिक है। यदि एड्स रोगियों की संख्या के वार्षिक दोगुने होने की कोई प्राकृतिक सीमा नहीं होती, और यह बीमारी अनिवार्य रूप से घातक परिणाम देती (और बिल्कुल लाइलाज थी), तो सभी पृथ्वीवासी एड्स से मर जाते, और बहुत जल्दी।

हालाँकि, कुछ लोगों में जन्मजात प्रतिरक्षा होती है। इसके अतिरिक्त, अमेरिकी स्वास्थ्य विभाग के संक्रामक रोगों के केंद्र के अनुसार, एड्स की घटनाओं में तेजी से वृद्धि शुरू में लगभग विशेष रूप से उच्च जोखिम वाले समूहों में हुई - मुख्य रूप से समलैंगिक पुरुष, हीमोफिलिया, और अंतःशिरा दवा उपयोगकर्ता - जिनका वस्तुतः कोई यौन संपर्क नहीं है शेष जनसंख्या. यदि एड्स का इलाज नहीं मिला, तो हेरोइन के नशेड़ी जो सुइयां साझा करते हैं, मर जाएंगे। सभी जन्मजात प्रतिरक्षा के लिए धन्यवाद नहीं, लेकिन लगभग सभी। वही भाग्य उन समलैंगिकों का इंतजार करता है जिनके अनैतिक और असुरक्षित रिश्ते हैं, लेकिन यह उन लोगों के साथ नहीं होगा जो सुरक्षा के साधनों की कभी उपेक्षा नहीं करते हैं, एक स्थायी साथी के प्रति वफादार रहते हैं, और उन भाग्यशाली लोगों में से हैं जो इस बीमारी से प्रतिरक्षित हैं। 1980 के दशक की शुरुआत से 100% विषमलैंगिक। जो लोग एक-दूसरे को धोखा नहीं देते हैं (या सुरक्षित यौन संबंध नहीं बनाते हैं), बशर्ते कि वे सीरिंज साझा न करें - और ऐसे अधिकांश लोग - आमतौर पर एड्स के खिलाफ बीमाकृत होते हैं। सबसे अधिक जोखिम वाले समूहों की घटना वक्र एक पठार पर पहुंचने के बाद, कम संवेदनशील समूहों की बारी होगी। वर्तमान में अमेरिका में, ये स्पष्ट रूप से विषमलैंगिक युवा हैं जो नहीं जानते कि अपने जुनून पर कैसे अंकुश लगाया जाए और वे असुरक्षित प्रयोगों से दूर हो जाते हैं। उनमें से कई मर जाएंगे, कुछ को भाग्य, जन्मजात प्रतिरक्षा या संयम से बचा लिया जाएगा, और घटनाओं में वृद्धि का चरम अगले जोखिम वाले समूह में चला जाएगा - शायद समलैंगिक पुरुषों की अगली पीढ़ी। परिणामस्वरूप, पूरी मानवता के लिए घातीय वक्र एक पठार पर पहुंच जाएगा, और एड्स पृथ्वी की पूरी आबादी की तुलना में बहुत कम लोगों को मारेगा (जो, हालांकि, इसके कई पीड़ितों और उनके प्रियजनों को सांत्वना देने की संभावना नहीं है)।

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पृथ्वी का अत्यधिक जनसंख्या संकट भी घातीय वृद्धि की घटना से जुड़ा हुआ है। मानव जाति के अधिकांश अस्तित्व के दौरान, इसकी जनसंख्या व्यावहारिक रूप से स्थिर थी - जन्म दर और मृत्यु दर एक दूसरे को संतुलित करती थी। इस अवस्था को गतिशील संतुलन कहा जाता है। कृषि के विकास के साथ, जिसमें उसी गेहूं की खेती के तरीके भी शामिल थे जिसकी महान विज़ियर को इच्छा थी, मानव आबादी बढ़ने लगी और तेजी से वृद्धि के चरण में प्रवेश कर गई। और यह संतुलन के अलावा कुछ भी नहीं है. अब हमारे ग्रह की जनसंख्या 40 वर्षों में दोगुनी हो रही है। हर 40 साल में हमारी संख्या दोगुनी हो जाती है. अंग्रेज पादरी थॉमस माल्थस ने 1798 में कहा था: तेजी से बढ़ रही जनसंख्या - माल्थस की शब्दावली में, ज्यामितीय प्रगति में - खाद्य उत्पादन में किसी भी वृद्धि के साथ भूख से मर जाएगी। कोई हरित क्रांति, कोई हाइड्रोपोनिक्स, कोई रेगिस्तान का विकास खाने वालों की संख्या में तेजी से वृद्धि की भरपाई नहीं करेगा।

इस समस्या का पृथ्वी के बाहर कोई समाधान भी नहीं है। अब प्रतिदिन होने वाली मौतों की तुलना में लगभग 240,000 अधिक लोग पैदा होते हैं। हमारी क्षमताएं, इसे हल्के ढंग से कहें तो, प्रति दिन 240,000 प्रवासियों को अंतरिक्ष में भेजने के लिए अपर्याप्त हैं। पृथ्वी की कक्षा में, चंद्रमा पर या मंगल ग्रह पर कोई भी आधार इतनी तेजी से बढ़ती आबादी के किसी भी महत्वपूर्ण हिस्से को समायोजित नहीं कर पाएगा। यहां तक ​​​​कि अगर हम सभी को सुपरल्यूमिनल गति वाले जहाजों पर अन्य स्टार सिस्टम में स्थानांतरित कर सकते हैं, तो भी इससे मदद नहीं मिलेगी। एक सहस्राब्दी के भीतर आकाशगंगा में रहने योग्य सभी ग्रह अत्यधिक जनसंख्या से भर जायेंगे। जब तक हम प्रजनन की दर कम नहीं करेंगे तब तक सब कुछ बेकार है। घातीय वृद्धि गंभीर व्यवसाय है.

नीचे दिया गया चित्र पृथ्वी के जनसंख्या परिवर्तन वक्र को दर्शाता है। अभी हम तीव्र घातीय वृद्धि के चरण में हैं (या हम इससे बाहर निकलने वाले हैं)। लेकिन संयुक्त राज्य अमेरिका, रूस और चीन जैसे कई देश पहले ही उस स्थिति में पहुंच चुके हैं या जल्द ही पहुंचेंगे जहां जनसंख्या वृद्धि धीमी हो जाती है और एक गतिशील संतुलन स्थापित हो जाता है। यह तथाकथित शून्य जनसंख्या वृद्धि है। हालाँकि, ज्यामितीय प्रगति में वृद्धि इतने बड़े पैमाने पर है कि अगर पृथ्वीवासियों का कम से कम एक छोटा सा हिस्सा तेजी से प्रजनन करना जारी रखता है, तो समग्र स्थिति अभी भी नहीं बदलेगी। कुल मानव जनसंख्या भी तेजी से बढ़ेगी।

गरीबी और उच्च जन्म दर के बीच एक स्पष्ट रूप से सिद्ध संबंध है। बड़े और छोटे देशों में, पूंजीवादी और साम्यवादी, कैथोलिक और मुस्लिम, पश्चिम और पूर्व में - लगभग हर जगह, गरीबी दूर होने पर तेजी से जनसंख्या वृद्धि धीमी हो जाती है या रुक जाती है। एक तथाकथित जनसांख्यिकीय बदलाव हो रहा है। मानव प्रजाति की सबसे महत्वपूर्ण रणनीतिक आवश्यकता हमारे ग्रह के हर कोने में इस बदलाव को महसूस करना है। न केवल नैतिक दायित्व के कारण, बल्कि प्रत्यक्ष लाभ की दृष्टि से भी, अमीर देशों को गरीब देशों को आर्थिक स्थिरता प्राप्त करने में मदद करनी चाहिए। वैश्विक जनसांख्यिकीय संकट का एक मुख्य कारण गरीबी है।

जनसांख्यिकीय बदलाव के दिलचस्प अपवाद हैं। ऐसे देश हैं जहां प्रति व्यक्ति आय अधिक होने के बावजूद जन्म दर अभी भी महत्वपूर्ण है। ये ऐसे राज्य हैं जहां आबादी के पास गर्भनिरोधक तक वस्तुतः कोई पहुंच नहीं है और/या महिलाओं पर वस्तुतः कोई राजनीतिक प्रभाव नहीं है। इन कारकों के बीच संबंध स्पष्ट है.

इस पुस्तक के लिखे जाने के समय पृथ्वी पर लगभग 6 अरब लोग रहते थे। यदि वर्तमान विकास दर जारी रहती है, तो 40 वर्षों में हम 12 अरब होंगे, 80 वर्षों में - 24 अरब, 120 वर्षों में - 48 अरब... आम सहमति यह है कि पृथ्वी इतने सारे लोगों को खिलाने में सक्षम नहीं है। हममें से बहुत से लोग पहले से ही ऐसे हैं जो वैश्विक स्तर पर गरीबी उन्मूलन को आने वाले कई दशकों तक मानवता के सामने आने वाले संकट से उबरने का सबसे सस्ता और निश्चित रूप से सबसे मानवीय तरीका मानते हैं। हमारा कार्य व्यापक जनसांख्यिकीय बदलाव सुनिश्चित करना और जनसंख्या वृद्धि वक्र को स्थिर स्तर पर लाना है। हमें सभी देशों में लोगों को गरीबी से बाहर निकालना चाहिए, उन्हें जन्म नियंत्रण के सुरक्षित और प्रभावी साधन प्रदान करने चाहिए, और महिलाओं को समाज में एक वास्तविक ताकत बनाना चाहिए (उन्हें कार्यकारी, विधायी, न्यायिक, कानून प्रवर्तन एजेंसियों और जनमत को प्रभावित करने वाली संस्थाओं में अनुमति देकर) ). अन्यथा, अन्य प्रक्रियाएँ जिन पर हमारा कोई नियंत्रण नहीं है, सक्रिय हो जाती हैं।

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वैसे...

परमाणु नाभिक के विखंडन का विचार सबसे पहले सितंबर 1933 में लंदन में हंगरी के प्रवासी भौतिक विज्ञानी लियो स्ज़ीलार्ड के दिमाग में आया था। उन्हें इस सवाल में दिलचस्पी थी कि क्या मनुष्य परमाणु के नाभिक में निहित विशाल ऊर्जा को मुक्त कर सकता है। यदि आप एक न्यूट्रॉन को नाभिक में भेजते हैं तो क्या होता है? (विद्युत आवेश की कमी के कारण, न्यूट्रॉन धनावेशित प्रोटॉन द्वारा विकर्षित नहीं होगा और नाभिक से टकराएगा।) जब वैज्ञानिक साउथेम्प्टन रो चौराहे पर ट्रैफिक लाइट के हरे होने का इंतजार कर रहे थे, तो उन्हें ध्यान आया कि हो सकता है कोई पदार्थ हो, कोई रासायनिक तत्व हो, जिसके परमाणु के एक न्यूट्रॉन से टकराने पर दो न्यूट्रॉन निकलते हों! इनमें से प्रत्येक दोन्यूट्रॉन अन्य परमाणुओं से कुछ और न्यूट्रॉन को नष्ट कर सकते हैं... और स्ज़ीलार्ड के दिमाग की आंखों के सामने एक परमाणु श्रृंखला प्रतिक्रिया की तस्वीर दिखाई दी - न्यूट्रॉन के घातीय गुणन और परमाणु नाभिक के क्षय की एक हिमस्खलन जैसी प्रक्रिया। उस शाम, स्ट्रैंड पैलेस होटल के एक छोटे से कमरे में, उन्होंने गणना की कि केवल कुछ किलोग्राम पदार्थ, यदि इसमें नियंत्रित श्रृंखला प्रतिक्रिया पैदा कर सके, तो एक छोटे शहर को पूरे वर्ष के लिए ऊर्जा की आपूर्ति की जा सकती है... या यदि यह सारी ऊर्जा एक ही बार में जारी कर दी जाए तो इस शहर को तुरंत नष्ट कर दो। इसके बाद, स्ज़ीलार्ड संयुक्त राज्य अमेरिका चले गए और ऐसे तत्वों की तलाश में रासायनिक तत्वों को व्यवस्थित रूप से छांटना शुरू कर दिया, जिनके परमाणु, जब न्यूट्रॉन के साथ बमबारी करते हैं, तो वे टकराने की तुलना में अधिक न्यूट्रॉन उत्सर्जित करते हैं। यूरेनस उसे आशाजनक लग रहा था। स्ज़ीलार्ड ने अल्बर्ट आइंस्टीन को राष्ट्रपति रूजवेल्ट को एक अब प्रसिद्ध पत्र लिखने के लिए राजी किया, जिसमें संयुक्त राज्य अमेरिका में जल्द से जल्द परमाणु बम बनाने का आह्वान किया गया। स्ज़ीलार्ड ने 1942 में शिकागो में किए गए यूरेनियम नाभिक के विखंडन पर पहले सफल प्रयोग का नेतृत्व किया, जो परमाणु हथियारों के निर्माण की दिशा में पहला कदम बन गया, और अपने शेष जीवन में उन्होंने खतरे के प्रति मानव जाति की आँखें खोलने की कोशिश की। राक्षसी शक्ति जो उसने स्वयं प्रकट की थी। इस प्रकार लियो स्ज़ीलार्ड ने घातीय वृद्धि की शक्ति की खोज की।

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हम में से प्रत्येक के दो माता-पिता, चार दादा-दादी, आठ परदादा, 16 परदादा-परदादा आदि हैं। एक पीढ़ी में प्रत्येक परिवर्तन के साथ, सीधी रेखा में पूर्वजों की संख्या दोगुनी हो जाती है। फ़ारसी शतरंज की किंवदंती के साथ समानताएँ स्पष्ट हैं। मान लीजिए कि हर 25 साल में पीढ़ियां बदल जाती हैं। फिर 64 पीढ़ियाँ 64 × 25 = 1600 वर्षों में समा जाती हैं (कितने वर्ष पहले प्राचीन रोम अपने पतन के करीब पहुँच गया था)। इससे पता चलता है कि आज रहने वाले प्रत्येक व्यक्ति को 400 ई.पू. में होना चाहिए था। इ। लगभग 18.5 क्विंटल पूर्वज (साइडबार देखें)? और पार्श्व रेखाओं पर रिश्तेदारों को ध्यान में रखे बिना। लेकिन यह पृथ्वी की संपूर्ण जनसंख्या से कहीं अधिक है, तब और अब, अब तक जीवित रहे लोगों की कुल संख्या से भी कहीं अधिक। गलती कहां है? इस आधार पर कि हमारे सभी प्रत्यक्ष पूर्वज अलग-अलग लोग हैं। बेशक, यह सच नहीं है. वंशानुक्रम की कई पंक्तियाँ एक ही पूर्वज तक जाती हैं। हममें से प्रत्येक एक-दूसरे से अनेक अंतर्विच्छेदित पारिवारिक संबंधों द्वारा जुड़ा हुआ है। जैसे-जैसे हम समय की गहराई में जाते हैं, चौराहों की संख्या बहुत अधिक हो जाती है।

यह बात समस्त मानवता पर लागू होती है। यदि आप अतीत में गहराई से जाएं, तो आप पृथ्वी पर किन्हीं दो लोगों के सामान्य पूर्वज पा सकते हैं। जब भी कोई नया अमेरिकी राष्ट्रपति चुना जाता है, तो कोई न कोई - आमतौर पर इंग्लैंड में - ब्रिटिश रानी के साथ अपने पारिवारिक संबंधों का पता लगाता है। ऐसा माना जाता है कि यह अंग्रेजी बोलने वालों को एक साथ लाएगा। एक ही लोगों या जातीय समूह के दो प्रतिनिधियों, या काफी अलग-थलग क्षेत्र के मूल निवासियों के लिए, जिनके पास एक प्रलेखित वंशावली है, एक सामान्य पूर्वज ढूंढना कोई समस्या नहीं है। लेकिन भले ही इसके निशान समय की दूरी में खो गए हों, यह निश्चित रूप से मौजूद है। हम सभी रिश्तेदार हैं - बिल्कुल पृथ्वी पर रहने वाले सभी लोग।

उस पारिश्रमिक की गणना जो शाह को वज़ीर को देना चाहिए था

आइए फ़ारसी किंवदंती से गणना करें कि शतरंज की बिसात पर गेहूं के कितने दाने रखने की आवश्यकता है। डरो मत, यह मुश्किल नहीं है!

निम्नलिखित सुरुचिपूर्ण कदम हमें लगभग सटीक परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देगा।

घातांक आपको बताता है कि हमने संख्या 2 को कितनी बार स्वयं से गुणा किया है। 2 2 = 4, 2 4 = 16, 2 10 = 1024, आदि। मान लीजिए एस- बोर्ड पर दानों की कुल संख्या, पहली कोशिका पर एक दाना से लेकर 64वें पर 263 तक। तो फिर जाहिर है:

एस = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 +… + 2 62 + 2 63 .

समीकरण के दोनों पक्षों को दो से गुणा करके, हम इसे इस रूप में लाते हैं:

2 एस = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +… + 2 63 + 2 64 .

आइए पहले समीकरण को दूसरे से घटाएँ:

2 एस – एस = एस = 2 64 – 1.

यह उत्तर है.

इस संख्या के आकार को दर्शाने के लिए, आइए नियमित दशमलव अंकन की ओर आगे बढ़ें। 2 10 लगभग 1000, या 10 3 (2.4% के अंतर के साथ) है। इस प्रकार, 2 20 = 2 (10 × 2) = (2 10) 2 = लगभग (10 3) 2 = 10 6, जो कि 10 को छह बार लिया जाता है, यानी एक मिलियन। इसी प्रकार, 2 60 = (2 10) 6 = लगभग (10 3) 6 = 10 18। फिर 2 64 = 2 4 × 2 60 = लगभग 16 × 10 18, या 16 के बाद अठारह शून्य - 16 क्विंटलियन अनाज। एक सटीक गणना 18.6 क्विंटिलियन देती है।

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ज्यामितीय प्रगति का एक और उल्लेखनीय उदाहरण तथाकथित आधे जीवन की अवधारणा से जुड़ा है। एक रेडियोधर्मी "मूल" तत्व, प्लूटोनियम कहते हैं, एक बेटी तत्व में विघटित हो जाता है, जो आमतौर पर कम खतरनाक होता है। यह कोई तात्कालिक प्रक्रिया नहीं है, यह एक निश्चित नियम के अनुसार समय के साथ घटित होती है। एक निश्चित अवधि के बाद - आधे जीवन - परमाणुओं का आधा भाग क्षय हो जाएगा। शेष विभाजित होते रहेंगे, एक और समान समय अंतराल के बाद, उनमें से आधे भी क्षय हो जाएंगे, आदि। उदाहरण के लिए, एक वर्ष के बराबर आधे जीवन के साथ, परमाणुओं की उपलब्ध संख्या का आधा एक वर्ष में क्षय हो जाएगा, आधा शेष आधे का, या मूल संख्या का एक चौथाई, दो वर्षों में, प्रारंभिक संख्या का आठवां - तीन वर्षों के बाद, एक हजारवां - 10 वर्षों के बाद, आदि। प्रत्येक तत्व का अपना आधा जीवन होता है। परमाणु ऊर्जा संयंत्र से खर्च किए गए ईंधन के भंडारण की समस्या को हल करते समय या परमाणु युद्ध के दौरान किसी क्षेत्र के रेडियोधर्मी संदूषण की गणना करते समय इस संकेतक को ध्यान में रखा जाना चाहिए। यह घातीय कमी का एक उदाहरण है, जो फ़ारसी किंवदंती में दर्शाई गई घातीय वृद्धि के विपरीत है।

कार्ल सागन का नवीनतम कार्य अब रूसी में उपलब्ध है। "द फ्यूचरिस्ट" प्रसिद्ध खगोलशास्त्री और विज्ञान के लोकप्रिय निर्माता के जन्मदिन पर सबसे दुखद और सबसे लंबे समय से प्रतीक्षित पुस्तक के बारे में बात करता है।

"मैं कसम खाता हूं, मैंने "अरबों और अरबों" वाक्यांश नहीं कहा!" प्रसिद्ध वैज्ञानिक और पुलित्जर पुरस्कार विजेता ने पुस्तक की शुरुआत इसी से की है। - उदाहरण के लिए, मैं कह सकता हूँ, "100 अरब आकाशगंगाएँ और 10 अरब खरब तारे।" बड़ी संख्याओं का सहारा लिए बिना अंतरिक्ष का वर्णन करना असंभव है। मैंने टेलीविजन श्रृंखला "कॉसमॉस" के कार्यक्रमों में बार-बार "बिलियन" शब्द का उच्चारण किया, जिसे बड़ी संख्या में दर्शकों ने देखा। लेकिन "अरबों और अरबों" - कभी नहीं। यदि केवल इसलिए कि यह बहुत अस्पष्ट है।"

दरअसल, यह मशहूर लाइन मशहूर टीवी होस्ट जॉनी कार्सन ने टुनाइट्स शो में कही थी। उन्होंने सागन के उच्चारण की पैरोडी बनाई, जो लगातार अरबों शब्द में बी पर जोर देता था ताकि श्रोता लाखों और अरबों को भ्रमित न करें। वैज्ञानिक हास्य अभिनेता से नाराज नहीं थे और इसलिए उन्होंने अपनी नवीनतम पुस्तक का नाम रखा - पर्यावरण की सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं और मानवता के भविष्य के लिए समर्पित निबंधों का एक संग्रह।

इस पुस्तक के संदर्भ में, "बिलियन्स एंड बिलियन्स" केवल उस किंवदंती का एक मनोरंजक संदर्भ नहीं है जो लोकप्रिय हो गई है। यह घातीय वृद्धि, जनसंख्या विस्फोट और परमाणु क्षय का एक रूपक है, जो ग्रह और मानवता, अरबों और अरबों लोगों के सामने आने वाली समस्याओं के पैमाने को दर्शाता है।

कल की आशा

पुस्तक में बहुत सारा गणित है, जो हमारे जीवन के सभी क्षेत्रों में व्याप्त है। घातीय वक्र का उपयोग करते हुए, लेखक बहुत अलग क्रम की चीजों की व्याख्या करता है: परमाणु श्रृंखला प्रतिक्रिया, एड्स महामारी और अधिक जनसंख्या की समस्या।

“गरीबी और उच्च जन्म दर के बीच एक स्पष्ट रूप से सिद्ध संबंध है। बड़े और छोटे देशों में, पूंजीवादी और साम्यवादी, कैथोलिक और मुस्लिम, पश्चिम और पूर्व में - लगभग हर जगह, गरीबी दूर होने पर तेजी से जनसंख्या वृद्धि धीमी हो जाती है या रुक जाती है।<...>यदि वर्तमान विकास दर कायम रहती है, तो 40 वर्षों में हमारी संख्या 12 अरब होगी, 80 वर्षों में - 24 अरब, 120 वर्षों में - 48 अरब... हममें से पहले से ही इतने सारे लोग हैं कि वैश्विक स्तर पर गरीबी उन्मूलन करना मुश्किल लगता है संकट से उबरने का सबसे सस्ता और निस्संदेह सबसे मानवीय तरीका हो", सागन लिखते हैं।

वैज्ञानिक आसानी से विषयों के बीच आगे बढ़ते हैं: खेल के प्रति मानव प्रेम की उत्पत्ति से लेकर विदेश नीति तक, शतरंज के इतिहास से लेकर गरीबी की समस्याओं तक, प्रकाश और ध्वनि की भौतिकी से लेकर विदेशी जीवन की खोज तक। कार्ल सागन सौर मंडल के ग्रहों के उपग्रहों के अध्ययन और मंगल ग्रह पर जीवन की खोज पर विशेष ध्यान देते हैं।

पुस्तक का दूसरा भाग वैज्ञानिकों और समाज के बीच बातचीत की समस्याओं के लिए समर्पित है। कार्ल सागन रेफ्रिजरेटर और एयर कंडीशनर में इस्तेमाल होने वाले रासायनिक यौगिकों सीएफसी पर प्रतिबंध लगाने की लड़ाई के इतिहास को कवर करते हैं। इन पदार्थों के व्यापक उपयोग से ओजोन परत नष्ट हो जाती है, जो ग्रह को ब्रह्मांडीय विकिरण से बचाती है। यह अधिकारियों और सार्वजनिक संगठनों की रूढ़िवादिता के खिलाफ वैज्ञानिकों के सफल संघर्ष का एक उदाहरण है। ग्लोबल वार्मिंग की कहानी अभी ख़त्म नहीं हुई है। कार्ल सागन ग्रीनहाउस प्रभाव पर शोध का विश्लेषण करते हैं और विनाशकारी जलवायु परिवर्तन से बचने के तरीके सुझाते हैं, तीसरे में, "जब दिल और दिमाग युद्ध में हैं," सागन राजनीतिक मुद्दों पर अपने विचार प्रदर्शित करते हैं, विशेष रूप से, संयुक्त राज्य अमेरिका और के बीच संबंधों पर। रूस, गर्भपात की समस्या और भी बहुत कुछ। यह सागन की सबसे राजनीतिक और तीक्ष्ण पुस्तकों में से एक है, जो दर्शाती है कि वैज्ञानिक दृष्टिकोण को किसी भी क्षेत्र में लागू किया जा सकता है।

वैज्ञानिक की मृत्यु के बाद बीते दो दशकों में दुनिया में ज्यादा बदलाव नहीं आया है। कुछ पूर्वानुमान सच नहीं हुए: स्वीडन के पास 2010 तक वैकल्पिक ऊर्जा पर स्विच करने का समय नहीं था। अब तक, रूस और संयुक्त राज्य अमेरिका के बीच संबंध विरोधाभासी बने हुए हैं, कई उद्यमों की गतिविधियां अभी भी पर्यावरण के लिए खतरा हैं, और विश्वास वैज्ञानिक तर्कवाद के साथ टकराव में है। ​और फिर भी वैज्ञानिक प्रगति को रोका नहीं जा सकता: एक्सोप्लैनेट की खोज जारी है, और एक्सोमार्स मिशन के अंतरिक्ष यान मंगल ग्रह की मिट्टी में जीवन की तलाश करने की तैयारी कर रहे हैं। सागन को भावी पीढ़ियों पर विश्वास था। यह पुस्तक उन लोगों के लिए एक संदेश है जो आने वाली शताब्दियों में पृथ्वी पर रहेंगे, वोयाजर गोल्डन रिकॉर्ड की तरह, जिसके निर्माण में खगोलशास्त्री सीधे तौर पर शामिल थे।

मौत का रूलेट

सागन के कई कार्यों की तरह, बिलियन्स एंड बिलियन्स भविष्य के बारे में है। लेकिन इस किताब को विशेष कड़वाहट के साथ पढ़ा जाता है। अंतिम अध्याय में, कार्ल सागन मायलोइड्सप्लास्टिक सिंड्रोम से अपने संघर्ष के बारे में बात करते हैं, एक रक्त रोग जिसने बाद में उनके जीवन को समाप्त कर दिया। इलाज की 30% संभावना के साथ उसका अस्थि मज्जा प्रत्यारोपण किया जाता है - "जैसे कि ड्रम में एक के बजाय चार गोलियों के साथ रूसी रूलेट खेलना।" दाता उसकी छोटी बहन कारी थी। यह पुस्तक उन्हीं को समर्पित है।

“मैं यह विश्वास करना चाहूंगा कि मृत्यु के बाद भी मैं जीवन नहीं खोऊंगा, मेरा कुछ हिस्सा - सोचना, महसूस करना, यादें संजोना - अस्तित्व में रहेगा। लेकिन न तो इस विश्वास का आकर्षण, न ही मृत्यु के बाद के जीवन का सम्मान करने की सांस्कृतिक परंपराओं की प्राचीनता और सर्वव्यापकता मेरे लिए ऐसे किसी भी तथ्य की अनुपस्थिति की जगह लेती है जो यह दर्शाता है कि ये सिर्फ सपने नहीं हैं, "यह एक वास्तविक वैज्ञानिक का सार है, जो साहसपूर्वक देख रहा है मौत के मुँह में.

जब यह स्पष्ट हो गया कि सागन बीमारी के खिलाफ लड़ाई हार रहा है तो हजारों ईसाइयों, हिंदुओं, यहूदियों और मुसलमानों ने वैज्ञानिक के लिए प्रार्थना की। वह इन लोगों के प्रति हृदय से आभारी थे।

और फिर भी, उसके लिए अंतिम दिन तक गंभीर रूप से सोचने की क्षमता बनाए रखना महत्वपूर्ण था - इससे सागन को जीवित महसूस करने में मदद मिली। दुनिया भर के लोगों ने वैज्ञानिक के प्रति शोक व्यक्त किया और उनकी आँखें खोलने और उन्हें विज्ञान के नाम पर काम करने के लिए प्रेरित करने के लिए उन्हें धन्यवाद दिया। अब तक, कई वैज्ञानिक और लोकप्रिय लोग कार्ल सागन को अपना शिक्षक कहते हैं। और, जैसा कि उनकी विधवा ऐन ड्रूयन ने उपसंहार में लिखा है, यही वह बात है जिससे उन्हें लगता है कि कार्ल अभी भी हमारे साथ हैं।